解:(Ⅰ)函數(shù)f(x)=ln|x|-x
2+ax的定義域?yàn)閧x|x∈R,x≠0}.
當(dāng)x>0時(shí),f(x)=lnx-x
2+ax,∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/69821.png)
; …(1分)
當(dāng)x<0時(shí),f(x)=ln(-x)-x
2+ax,∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/69821.png)
; …(3分)
綜上可得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/69822.png)
.…(4分)
(Ⅱ)∵
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/69821.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/69823.png)
,x
1、x
2為函數(shù)f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn),
∴x
1、x
2為方程-2x
2+ax+1=0的兩根,所以
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/69824.png)
,
又∵
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/69820.png)
,∴a=-1.…(5分)
此時(shí),
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/69825.png)
,
由f'(x)≥0得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/69826.png)
,
當(dāng)x>0時(shí),
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/69827.png)
,此時(shí)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/23330.png)
;
當(dāng)x<0時(shí),(2x-1)(x+1)≥0,∴x≤-1或x≥
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
,此時(shí)x≤-1.
∴當(dāng)f'(x)≥0時(shí),x≤-1或
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/23330.png)
.…(7分)
當(dāng)f'(x)≤0時(shí),同理解得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/69828.png)
.…(8分)
綜上可知a=-1滿足題意,且函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,-1]和
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/621.png)
.…(9分)
(Ⅲ)∵
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/69829.png)
,又
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/69830.png)
,
∴切線l的方程為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/69831.png)
,
即
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/69832.png)
(x
0為常數(shù)).…(10分)
令
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/69833.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/69834.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/69835.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/69836.png)
,(11分)
當(dāng)x
0>0時(shí),x、g'(x)、g(x)的關(guān)系如下表:
x | ![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/69837.png) | ![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/69838.png) | ![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/69839.png) | (0,x0) | x0 | (x0,+∞) |
g'(x) | + | 0 | - | + | 0 | - |
g(x) | ↗ | 極大值 | ↘ | ↗ | 極大值 | ↘ |
當(dāng)x
0<0時(shí),x、g'(x)、g(x)的關(guān)系如下表:
x | (-∞,x0) | x0 | (x0,0) | ![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/69840.png) | ![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/69838.png) | ![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/69841.png) |
g'(x) | + | 0 | - | + | 0 | - |
g(x) | ↗ | 極大值 | ↘ | ↗ | 極大值 | ↘ |
函數(shù)f(x)=ln|x|-x
2+ax的圖象恒在直線l的下方或直線l上,
等價(jià)于g(x)≤0對(duì)x≠0恒成立.
∴只需g(x
0)≤0和
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/69842.png)
同時(shí)成立.…(12分)
∵g(x
0)=0,∴只需
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/69842.png)
.
下面研究函數(shù)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/69843.png)
,
∵
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/69844.png)
,
∴m(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,
注意到m(1)=0,∴當(dāng)且僅當(dāng)0<x≤1時(shí),m(x)≤0.…(13分)
∴當(dāng)且僅當(dāng)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/69845.png)
時(shí),
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/69846.png)
,
由
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/69845.png)
解得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/69847.png)
或
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/69848.png)
.
∴x
0的取值范圍是
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/69849.png)
.…(14分)
分析:(Ⅰ)確定函數(shù)的定義域,分類討論,將函數(shù)化簡(jiǎn),再求導(dǎo)函數(shù)即可;
(Ⅱ)根據(jù)x
1、x
2為函數(shù)f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn),利用韋達(dá)定理,可求a的值,即得到函數(shù)解析式,求導(dǎo)函數(shù),利用f'(x)≥0,可得函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(Ⅲ)確定切線l的方程,再構(gòu)造新函數(shù)g(x),求導(dǎo)數(shù),確定函數(shù)的單調(diào)性與極值,從而函數(shù)f(x)=ln|x|-x
2+ax的圖象恒在直線l的下方或直線l上,等價(jià)于g(x)≤0對(duì)x≠0恒成立,即只需g(x
0)≤0和
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/69842.png)
,由此可得x
0的取值范圍.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí),考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力,考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想、函數(shù)與方程思想.