Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，Q為AD的中點．
（1）若PA=PD，求證：平面PQB⊥平面PAD；
（2）若平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，點M在線段PC上，試確定點M的位置，使二面角M-BQ-C的大小為60°．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）連BD，由已知得AD⊥BQ，AD⊥PQ，從而AD⊥平面PQB，由此能證明平面PQB⊥平面PAD．
（2）以Q為原點，QA為x軸，QB為y軸，QP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出M在PC上，且PM=

1

3

PC．

解答： （1）證明：連BD，四邊形ABCD菱形，
∵AD=AB，∠BAD=60°，
∴△ABD是正三角形，Q為AD中點．
∴AD⊥BQ，
∵PA=PD，Q為AD中點，∴AD⊥PQ，
又BQ∩PQ=Q，∴AD⊥平面PQB，
AD?平面PAD，
∴平面PQB⊥平面PAD．
（2）解：以Q為原點，QA為x軸，QB為y軸，
QP為z軸，建立空間直角坐標系，
則Q（0，0，0），B（0，

3

，0），
P（0，0，

3

），C（-2，

3

，0），

QB

=(0，

3

，0)，

PC

=（-2，

3

，-

3

），
設M（a，b，c），

PM

=λ

PC

=(-2λ，

3

λ，-

3

λ)，0＜λ＜1，
則M（-2λ，

3

λ，

3

-

3

λ），

QM

=（-2λ，

3

λ，

3

-

3

λ），
設平面BQM的法向量

n

=（x，y，z），
則

n • QM =-2λx+ 3 λy+( 3 - 3 λ)z=0 n • QB = 3 y=0

，
取z=1，得

n

=（

3 - 3 λ

2λ

，0，1），
由已知得平面BQC的法向量

m

=（0，0，1），二面角M-BQ-C的大小為60°，
∴cos60°=|cos＜

n

，

m

＞|=

1

( 3 - 3 λ 2λ )2+1

=

1

2

，
解得λ=

1

3

，
∴M在PC上，且PM=

1

3

PC．

點評：本題考查平面與平面垂直的證明，考查滿足條件的點的位置的確定，解題時要注意向量法的合理運用．