Question

為迎接2011“兔”年的到來(lái)，某機(jī)構(gòu)舉辦猜獎(jiǎng)活動(dòng)，參與者需先后回答兩道選擇題：?jiǎn)栴}A有四個(gè)選項(xiàng)，問(wèn)題B有五個(gè)選項(xiàng)，但都只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的，正確回答問(wèn)題A可獲獎(jiǎng)金m元，正確回答問(wèn)題B可獲獎(jiǎng)金n元．活動(dòng)規(guī)定：參與者可任意選擇回答問(wèn)題的順序：如果第一個(gè)問(wèn)題回答錯(cuò)誤，則該參與者猜獎(jiǎng)活動(dòng)中止，一個(gè)參與者在回答問(wèn)題前，對(duì)這兩個(gè)問(wèn)題都很陌生，因而準(zhǔn)備靠隨機(jī)猜測(cè)回答問(wèn)題，試確定回答問(wèn)題的順序使獲獎(jiǎng)金額的期望值較大．

Answer 1

分析：隨機(jī)猜對(duì)問(wèn)題A的概率P1=

1

4

，隨機(jī)猜對(duì)問(wèn)題B的概率P2=

1

5

．回答問(wèn)題的順序有兩種，分別討論如下：先回答問(wèn)題A，再回答問(wèn)題B．先回答問(wèn)題B，再回答問(wèn)題A，做出兩種情況下的獲勝的期望，進(jìn)行比較，分類討論．

解答：解：隨機(jī)猜對(duì)問(wèn)題A的概率P1=

1

4

，隨機(jī)猜對(duì)問(wèn)題B的概率P2=

1

5

．
回答問(wèn)題的順序有兩種，分別討論如下：
（1）先回答問(wèn)題A，再回答問(wèn)題B．
參與者獲獎(jiǎng)金額ξ可取0，m，m+n，則
P(ξ=0)=1-P1=

3

4

，P(ξ=m)=P1(1-P2)=

1

4

×

4

5

=

1

5

，
P(ξ=m+n)=P1P2=

1

4

×

1

5

=

1

20

．
Eξ=m×

1

5

+（m+n）×

1

20

=

m

4

+

n

20

（2）先回答問(wèn)題B，再回答問(wèn)題A，
參與者獲獎(jiǎng)金額η可取0，n，m+n，則
P(η=0)=1-P2=

4

5

，P(ξ=n)=P2(1-P1)=

1

5

×

3

4

=

3

20

，
P(η=m+n)=P2P1=

1

5

×

1

4

=

1

20

．
Eη=0×

4

5

+n×

3

20

+(m+n)×

1

20

=

m

20

+

n

5

．
Eξ-Eη=（

m

4

+

n

20

）-（

m

20

+

n

5

）=

4m-3n

20

于是，當(dāng)

m

n

＞

3

4

時(shí)，Eξ＞Eη，先回答問(wèn)題A，再回答問(wèn)題B，獲獎(jiǎng)的期望值較大；
當(dāng)

m

n

=

3

4

時(shí)，Eξ=Eη，兩種順序獲獎(jiǎng)的期望值相等；
當(dāng)

m

n

＜

3

4

時(shí)，Eξ＜Eη，先回答問(wèn)題B，再回答問(wèn)題A，獲獎(jiǎng)的期望值較大．

點(diǎn)評(píng)：期望是概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)的重要概念之一，是反映隨機(jī)變量取值分布的特征數(shù)，學(xué)習(xí)期望將為今后學(xué)習(xí)概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)做鋪墊．同時(shí)，它在市場(chǎng)預(yù)測(cè)，經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計(jì)，風(fēng)險(xiǎn)與決策等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，為今后學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)及相關(guān)學(xué)科產(chǎn)生深遠(yuǎn)的影響．