Question

設(shè)F₁，F(xiàn)₂分別是雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左右焦點，A為雙曲線的左頂點，以F₁，F(xiàn)₂為為直徑的圓交雙曲線的某條漸近線于MN兩點（M在x軸上方，N在x軸下方），c為雙曲線的半焦距，O為坐標原點．則下列命題正確的是

 

（寫出所有正確命題的編號）．
①|(zhì)OM|=|ON|=c；
②點N的坐標為（a，b）；
③∠MAN＞90°；
④若∠MAN=120°，則雙曲線C的離心率為

21

3

；
⑤若∠MAN=120°，且△AMN的面積為2

3

，則雙曲線C的方程為

x2

3

-

y2

4

=1．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由圓的方程和雙曲線的性質(zhì)，即可判斷①；求出漸近線與圓的交點，即可判斷②；求出向量AM，AN的坐標，再由數(shù)量積即可判斷③；再利用余弦定理，求出a，c之間的關(guān)系，即可得出雙曲線的離心率，即可判斷④；由④，運用三角形的面積公式，結(jié)合a，b，c的關(guān)系，解得a，b，即可判斷⑤．

解答： 解：對于①，由以F₁，F(xiàn)₂為為直徑的圓
交雙曲線的某條漸近線于MN兩點，
則|OM|=|ON|=c正確；
對于②，令漸近線方程為y=

b

a

x，
代入圓x²+y²=c²=a²+b²，解得，M（a，b），N（-a，-b），
則②錯誤；
對于③，由于A（-a，0），M（a，b），N（-a，-b），

AM

=（2a，b），

AN

=（0，-b），

AM

•

AN

=-b²＜0，則∠MAN＞90°正確；
對于④，M（a，b），N（-a，-b）；又∵A（-a，0），且∠MAN=120°，
∴由余弦定理得4c²=（a+a）²+b²+b²-2

(a+a)2+b2

•bcos 120°，
化簡得7a²=3c²，∴e=

c

a

=

21

3

．④正確；
對于⑤，由④得e=

c

a

=

21

3

，△AMN的面積為2

3

，則有

1

2

ab×2=2

3

，
再由a²+b²=c²，解得，a=

3

，b=2，即有雙曲線C的方程為

x2

3

-

y2

4

=1．則⑤正確．
故答案為：①③④⑤．

點評：本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，考查離心率的求法和直線與圓相交，考查運算能力，屬于中檔題和易錯題．