Question

求曲線y=

1

x2

在橫坐標為x₀的點處的切線方程，并求此曲線的切線被兩坐標軸所截線段的最短長度．

Answer 1

分析：先根據導數的幾何意義求出曲線在點x₀處的切線方程，從而求出切線被兩坐標軸所截線段，再用基本不等式求其最小值．

解答：解：由導數的定義可得y′=-

2

x3

，
則過（x0，

1

x 2 0

）點的切線方程為y-

1

x 2 0

=-

2

x 3 0

(x-x0)，
由此得切線在x軸與y軸上的交點分別為A（

3

2

x₀，0），B（0，

3

x 2 0

）．
則|AB|²=

9

4

x

2 0

+

9

x 4 0

=

9

8

x

2 0

+

9

8

x

2 0

+

9

x 4 0

≥3•

3	9 8 x 2 0 • 9 8 x 2 0 • 9 x 4 0

=

27

4

，
∴|AB|≥

3 3

2

，當且僅當

9

8

x

2 0

=

9

x 4 0

，即x₀=±

2

時，等號成立．
故最短長度為

3 3

2

．

點評：本小題主要考查直線的斜率、導數的幾何意義、利用導數研究曲線上某點切線方程、基本不等式等基礎知識，考查運算求解能力．