Question

設函數f（x）=

ax2+1

bx+c

（a，b，c∈Z）是奇函數，且f（1）=2，f（2）＜3．
（1）求a，b，c的值；
（2）求：f（-1），f（-2）的值；
（3）當x＜0時，判斷函數f（x）的單調性并證明．

Answer 1

考點：奇偶性與單調性的綜合

專題：函數的性質及應用

分析：（1）首先由奇函數定義求c，然后利用f（1）=2，f（2）＜3，求b的取值范圍，最后通過a、b、c∈Z求a、b、c的值；
（2）根據（1）求出的解析式，求出f（-1），f（-2）的值；
（3）根據解析式判斷出當x＜0時函數f（x）的單調性，再利用函數的單調性定義進行證明．

解答： 解：（1）解：由f（-x）=-f（x），得-bx+c=-（bx+c），
∴c=0．
由f（1）=2，得a+1=2b①
由f（2）＜3，得

4a+1

2b

＜3②
由①②得

8b-3

2b

＜3，得0＜b＜

3

2

，
又a，b，c是整數，所以b=1，即a=1，
則a=b=1，c=0；
（2）由（1）得，f(x)=

x2+1

x

，所以f（-1）=-2，f（-2）=

4+1

-2

=-

5

2

；
（3）由（1）得，f(x)=

x2+1

x

，則（-∞，-1）是增區(qū)間，（-1，0）是減區(qū)間，
任取x₁，x₂∈（∞，-1），且x₁＜x₂＜-1，則
f（x₁）-f（x₂）=

x12+1

x1

-

x22+1

x2

=

x2(x12+1)-x1(x22+1)

x1x2

=

(x2 -x1)(x1x2 -1)

x1x2

，
∵x₁＜x₂＜-1
∴x₁x₂-1＞0，x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0
∴f（x）在（-∞，-1）上單調遞增，
同理可證f（x）在（-1，0）上單調遞減．

點評：本題考查函數奇偶性與單調性的綜合應用，及函數的單調性的判斷與證明，考查學生的計算化簡能力，屬于中檔題．