Question

f（x）=ax³+3x²-1（a≠0），若a＜0時，函數(shù)f（x）的圖象與直線y=3有三個不同的交點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：先求出函數(shù)的極值，由題意可得函數(shù)的極大值＞3即可滿足函數(shù)f（x）的圖象與直線y=3有三個不同的交點解，問題得以解決

解答： 解：∵f（x）=ax³+3x²-1，
∴f′（x）=3ax²+6x=3x（ax+2）
令f′（x）=0解得x₁=0，x₂=-

2

a

＞0 （a＜0），
當f′（x）＞0時，即x＞-

2

a

或x＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，
當f′（x）＜0時，即0＜x＜-

2

a

，函數(shù)單調(diào)遞增，
當x=0時函數(shù)有極小值，f（0）=-1，當x=-

2

a

函數(shù)有極大值，f（-

2

a

）=

4

a2

-1，
∵a＜0時，函數(shù)f（x）的圖象與直線y=3有三個不同的交點，
∴

4

a2

-1＞3
解得-1＜a＜0
故實數(shù)a的取值范圍是（-1，0）

點評：本題以三次多項式函數(shù)為例，考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和三次多項式函數(shù)的零點問題，屬于中檔題．