Question

已知動點P₁（x₁，cosx₁），P₂（x₂，cosx₂），O為坐標原點，則當-1≤x₁≤x₂≤1時，下列說法正確的是（　�。�

• A、|

  OP1

  |有最小值1
• B、|

  OP1

  |有最小值，且最小值小于1
• C、

  OP1

  ?

  OP2

  ＞0恒成立
• D、存在x₁，x₂使得

  OP1

  ?

  OP2

  =2

Answer 1

分析：先根據向量的坐標運算及向量模、向量數量積公式表示出|

OP1

|，

OP1

•

OP2

，接下來利用導數工具研究|

OP1

|表達式的最小值；利用特殊值法考察

OP1

•

OP2

的取值情況，從而得出正確答案．

解答：解：∵P₁（x₁，cosx₁），P₂（x₂，cosx₂），
∴

OP1

•

OP2

=（x₁，cosx₁）•（x₂，cosx₂）=x₁x₂+cosx₁cosx₂，
對于A、B：知|

OP1

|²=x₁²+cos²x₁（-1≤x₁≤1）
令|

OP1

|²=f（x）=x²+cos²x（-1≤x≤1）
考慮到f（x）為偶函數，
不妨僅討論0≤x≤1時f（x）的最小值，
因f（x）=1+x²-sin²x=1+（x+sinx）（x-sinx）
而當0≤x≤1時x≥sinx≥0，則f（x）≥1（當且僅當x=0時取得等號）
即當0≤x≤1時f（x）_min=1
所以|

OP1

|有最小值1，由此可見選項A對B錯；
對于C：

OP1

•

OP2

=（x₁，cosx₁）•（x₂，cosx₂）=x₁x₂+cosx₁cosx₂，
因-1≤x₁≤x₂≤1，則-1≤x₁x₂≤1
而0＜（cos1）²≤cosx₁cosx₂≤1
注意到一個極限位置：x₁=-1，x₂=1
向量

OP1

•

OP2

=-1+（cos1）²＜0
所以C選項并不恒成立．故錯；
對于D：

OP1

•

OP2

=（x₁，cosx₁）•（x₂，cosx₂）=x₁x₂+cosx₁cosx₂，
其中x₁x₂≤1，cosx₁cosx₂≤1，但x₂與cosx₂不可能同時為1，
而x₁≤x₂，所以應

OP1

•

OP2

＜2；故D錯．
故選A．

點評：本小題主要考查命題的真假判斷與應用、向量的坐標的應用、向量的數量積等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．屬于中檔題．