Question

某潛水員身背氧氣瓶潛入湖底進(jìn)行考察，氧氣瓶形狀如圖，其結(jié)構(gòu)為一個圓柱和一個圓臺的組合（設(shè)氧氣瓶中氧氣已充滿，所給尺寸是氧氣瓶的內(nèi)徑尺寸），潛水員在潛入水下a米的過程中，速度為v米/分，每分鐘需氧量與速度平方成正比（當(dāng)速度為1米/分時，每分鐘需氧量為0.2L）；在湖底工作時，每分鐘需氧量為0.4L；返回水面時，速度也為v米/分，每分鐘需氧量為0.2L，若下潛與上浮時速度不能超過p米/分，試問潛水員在湖底最多能工作多少時間？（氧氣瓶體積計算精確到1L，a、p為常數(shù)，圓臺的體積V=，其中h為高，r、R分別為上、下底面半徑．）

Answer 1

解：氧氣瓶中氧氣的體積
V=V_圓柱+V_圓臺=π×10²×50+π×10×17 L．
設(shè)潛入水下a米過程中的每分鐘需氧量為Q，則Q=kv²，
因當(dāng)速度為1 m/分時，每分鐘需氧量0.2 L，所以k=0.2，
故來回途中需氧量為a×0.2v+，
則在湖底的工作時間為，
∵，…..（6分）
當(dāng)且僅當(dāng)，v=1時取等號．
所以①當(dāng)p≥1時，的最大值是42.5-a．
②當(dāng)p＜1時，v∈（0，p]，
∵v≤p＜1，vp≤p²＜1，
-，
即當(dāng)v=p時，在湖底的工作時間的最大值為，
因此，當(dāng)p≥1時，潛水員在湖底最多能工作42.5-a分鐘；
當(dāng)p＜l時，潛水員在湖底最多能工作分鐘．…（14分）
分析：氧氣瓶中氧氣的體積V=V_圓柱+V_圓臺=π×10²×50+π×10×17 L．設(shè)潛入水下a米過程中的每分鐘需氧量為Q，則Q=kv²，因當(dāng)速度為1 m/分時，每分鐘需氧量0.2 L，所以k=0.2，故來回途中需氧量為a×0.2v+，則在湖底的工作時間為．由此能夠求出潛水員在湖底最多能工作多少時間．
點評：本題考查函數(shù)模型的選擇和應(yīng)用，解題時要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化，恰當(dāng)?shù)亟�立方程．易錯點是弄不清數(shù)量間的相互關(guān)系，導(dǎo)致建立方程出錯．