Question

數(shù)列{a_n}滿足a₁=a，，n=1，2，3，…．
（Ⅰ）若a_n+1=a_n，求a的值；
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，證明：；
（Ⅲ）設(shè)數(shù)列{a_n-1}的前n項(xiàng)之積為T_n．若對任意正整數(shù)n，總有（a_n+1）T_n≤6成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題意知，解得，由n的任意性知，．
（Ⅱ）假設(shè)，則，依此類推，，，，，與矛盾．所以．
（Ⅲ）由題設(shè)條件知．由此入手能夠解出a的取值范圍是．
解答：解：（Ⅰ）因?yàn)閍_n+1=a_n，所以，解得或a_n=-1（舍去）．
由n的任意性知，．（3分）
（Ⅱ）反證法：
假設(shè)，則，得，
依此類推，，，，，與矛盾．
所以．（8分）
（Ⅲ）由已知，當(dāng)n≥2時(shí)，2a_n²=a_n-1+3，2（a_n²-1）=a_n-1+1，2（a_n-1）（a_n+1）=a_n-1+1，
所以．
同理，，．
將上述n-1個(gè)式子相乘，得，
即，．
所以對任意n≥2恒成立．
又n=1時(shí)，（a₁+1）（a₁-1）=a₁²-1≤6，
故a₁²≤6×2^n-1+1對任意n∈N^*恒成立．
因?yàn)閿?shù)列{6×2^n-1+1}單調(diào)遞增，所以a₁²≤6×1+1=7，
即a的取值范圍是．（14分）
點(diǎn)評：本題考查數(shù)列性質(zhì)的綜合運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．