Question

5．如圖，已知AB⊥平面BCE，CD∥AB，△BCE是等邊三角形，AB=BC=2CD，F(xiàn)為線段BE的中點(diǎn)．
（1）求證：CF∥平面ADE；
（2）求證：平面ADE⊥平面ABE；
（3）求二面角B-AE-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）以F為原點(diǎn)，F(xiàn)E為x軸，F(xiàn)C為y軸，過F作平面BCE的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明CF∥平面ADE．
（2）求出平面ADE的法向量和平面ABE的法向量，利用向量法能證明平面ADE⊥平面ABE．
（3）求出平面ABE的法向量和平面AEC的法向量，利用向量法能求出二面角B-AE-C的余弦值．

解答 證明：（1）∵AB⊥平面BCE，CD∥AB，△BCE是等邊三角形，F(xiàn)為線段BE的中點(diǎn)，
∴以F為原點(diǎn)，F(xiàn)E為x軸，F(xiàn)C為y軸，過F作平面BCE的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)AB=BC=2CD=2，
則F（0，0，0），C（0，$\sqrt{3}$，0），A（-1，0，2），
D（0，$\sqrt{3}$，1），E（1，0，0），
$\overrightarrow{CF}$=（0，-$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{AE}$=（2，0，-2），$\overrightarrow{AD}$=（1，$\sqrt{3}$，-1），
設(shè)平面ADE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AD}=x+\sqrt{3}y-z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=2x-2z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，0，1），
∵$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{CF}$=0，CF?平面ADE，
∴CF∥平面ADE．
（2）平面ADE的法向量$\overrightarrow{n}$=（1，0，1），
平面ABE的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，1，0），
∵$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=0，
∴平面ADE⊥平面ABE．
解：（3）平面ABE的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，1，0），
$\overrightarrow{AC}$=（1，$\sqrt{3}，-2$），$\overrightarrow{AE}$=（2，0，-2），
設(shè)平面AEC的法向量$\overrightarrow{p}$=（a，b，c），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{p}•\overrightarrow{AC}=a+\sqrt{3}b-2c=0}\\{\overrightarrow{p}•\overrightarrow{AE}=2a-2c=0}\end{array}\right.$，取a=1，得$\overrightarrow{p}$=（1，$\frac{1}{\sqrt{3}}$，1），
設(shè)二面角B-AE-C的平面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{p}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{p}|}$=$\frac{|\frac{1}{\sqrt{3}}|}{\sqrt{1+\frac{1}{3}+1}}$=$\frac{\sqrt{7}}{7}$．
∴二面角B-AE-C的余弦值為$\frac{\sqrt{7}}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行、面面垂直的證明，考查二面角的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．