Question

9．已知函數(shù)f（x）=e^x-mx²-2x
（1）若m=0，討論f（x）的單調(diào)性；
（2）若m＜$\frac{e}{2}$-1時，證明：當(dāng)x∈[0，+∞）時，f（x）＞$\frac{e}{2}$-1．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)m=0時，f′（x）=e^x-2，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．
（2）求出f′（x）=e^x-2mx-2，f''（x）=${e}^{x}-2m＞{e}^{x}-2•\frac{e-2}{2}$=e^x-（e-2）．利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)求出f（x）_min=f（x₀）=${e}^{{x}_{0}}-\frac{1}{2}{x}_{0}{e}^{{x}_{0}}-{x}_{0}$，令g（x）=${e}^{x}-\frac{1}{2}x{e}^{x}-x$，x∈（0，1），則${g}^{'}（x）=\frac{1}{2}{e}^{x}-\frac{1}{2}x{e}^{x}-1$，由此能證明f（x）＞$\frac{e}{2}-1$．

解答 （本小題滿分12分）
解：（1）當(dāng)m=0時，f（x）=e^x-2x．
f′（x）=e^x-2，令f′（x）＞0，得x＞ln2．
令f′（x）＜0，得x＜ln2，
∴f（x）在（-∞，ln2）上單調(diào)遞減，f（x）在（ln2，+∞）上單調(diào)遞增．   …（4分）
證明：（2）∵函數(shù)f（x）=e^x-mx²-2x，
∴f′（x）=e^x-2mx-2，
f''（x）=${e}^{x}-2m＞{e}^{x}-2•\frac{e-2}{2}$=e^x-（e-2）．
當(dāng)x∈[0，+∞）時，e^x≥1≥e-2，
故f′（x）＞0，故f′（x）單調(diào)遞增．
又f′（0）=1-2=-1＜0，${f}^{'}（1）=e-2m-2＞e-2•（\frac{e}{2}-1）-2=0$，
故存在唯一的x₀∈（0，1），使得f′（x₀）=0，即${e}^{{x}_{0}}-2m{x}_{0}-2=0$，
且當(dāng)x∈（0，x₀）時，f′（x）＜0，故f（x）單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈（x₀，+∞）時，f′（x）＞0，故f（x）單調(diào)遞增．
故f（x）_min=f（x₀）=${e}^{{x}_{0}}-m{{x}_{0}}^{2}$-2x₀．   …（7分）
因為x=x₀是方程${e}^{{x}_{0}}-2m{x}_{0}-2=0$的根，故m=$\frac{{e}^{{x}_{0}}-2}{2{x}_{0}}$．
故f（x）_min=${e}^{{x}_{0}}-\frac{{e}^{{x}_{0}}-2}{2{x}_{0}}{{x}_{0}}^{2}-2{x}_{0}$=${e}^{{x}_{0}}-\frac{1}{2}{x}_{0}{e}^{{x}_{0}}-{x}_{0}$．   …（9分）
令g（x）=${e}^{x}-\frac{1}{2}x{e}^{x}-x$，x∈（0，1），
${g}^{'}（x）=\frac{1}{2}{e}^{x}-\frac{1}{2}x{e}^{x}-1$，${g}^{''}（x）=-\frac{1}{2}x{e}^{x}$＜0．
故g′（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，故${g}^{'}（x）＜{g}^{'}（0）=-\frac{1}{2}＜0$，
故g（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，∴g（x）＞g（1）=$\frac{e}{2}-1$，故f（x）＞$\frac{e}{2}-1$． …（12分）

點評 本題考查函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)的討論，考查不等式的證明，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查推理論證能力、運算求解能力，考查轉(zhuǎn)化化歸思想、分類討論思想，是中檔題．