Question

4．已知點(diǎn)P（-1，$\frac{3}{2}$）是橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）上一點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別是橢圓E的左、右焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，PF₁⊥x軸．
（1）求橢圓E的方程；
（2）設(shè)A，B是橢圓E上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足：$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$=λ$\overrightarrow{PO}$（0＜λ＜4，且λ≠2），求直線AB的斜率．
（3）在（2）的條件下，當(dāng)△PAB面積取得最大值時(shí)，求λ的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由PF₁⊥x軸，求出2a=|PF₁|+|PF₂|=4，由此能求出橢圓E的方程．
（2）設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），由 $\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$=λ$\overrightarrow{PO}$（0＜λ＜4，且λ≠2），得x₁+x₂=λ-2，y₁+y₂=$\frac{3}{2}$（2-λ），再由3（x₁+x₂）（x₁-x₂）+4（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，由此能求出AB的斜率．
（3）設(shè)直線AB的方程為y=$\frac{1}{2}$x+t，與3x²+4y²=12聯(lián)立得 x²+tx+t²-3=0，由此利用根的判別式、弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)到直線距離公式、三角形面積公式，求出△PAB的面積為S=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\sqrt{4-{t}^{2}}$|t-2|，設(shè)f（t）=S²=-$\frac{3}{4}$（t⁴-4t³+16t-16）（-2＜t＜2），求出f′（t）=-3（t+1）（t-2）²，由f′（t）=0及-2＜t＜2得t=-1．由此能求出結(jié)果．

解答 解：（Ⅰ）∵PF₁⊥x軸，∴F₁（-1，0），c=1，F(xiàn)₂（1，0），
∴|PF₂|=$\sqrt{{2}^{2}+（\frac{3}{2}）^{2}}$=$\frac{5}{2}$，∴2a=|PF₁|+|PF₂|=4，∴a=2，∴b²=3，
∴橢圓E的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．…（3分）
（2）證明：設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
由 $\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$=λ$\overrightarrow{PO}$（0＜λ＜4，且λ≠2），得（x₁+1，y₁-$\frac{3}{2}$）+（x₂+1，y₂-$\frac{3}{2}$）=λ（1，-$\frac{3}{2}$），
∴x₁+x₂=λ-2，y₁+y₂=$\frac{3}{2}$（2-λ）…①…（5分）
又$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{3}=1}\\{\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}+\frac{{{y}_{2}}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，兩式相減得3（x₁+x₂）（x₁-x₂）+4（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0…．．②
以①式代入可得AB的斜率k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{1}{2}$．…（8分）
（3）設(shè)直線AB的方程為y=$\frac{1}{2}$x+t，與3x²+4y²=12聯(lián)立消去y并整理得 x²+tx+t²-3=0，△=3（4-t²），
|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x1-x2|=$\sqrt{1+\frac{1}{4}}$×$\sqrt{3（4-{t}^{2}）}$=$\frac{\sqrt{15}}{2}×\sqrt{4-{t}^{2}}$，
點(diǎn)P到直線AB的距離為d=$\frac{2|t-2|}{\sqrt{5}}$，
△PAB的面積為S=$\frac{1}{2}$|AB|×d=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\sqrt{4-{t}^{2}}$|t-2|，…（10分）
設(shè)f（t）=S²=-$\frac{3}{4}$（t⁴-4t³+16t-16）（-2＜t＜2），
f′（t）=-3（t³-3t²+4）=-3（t+1）（t-2）²，由f′（t）=0及-2＜t＜2得t=-1．
當(dāng)t∈（-2，-1）時(shí)，f′（t）＞0，
當(dāng)t∈（-1，2）時(shí)，f′（t）＜0，f（t）=-1時(shí)取得最大值$\frac{81}{4}$，
所以S的最大值為$\frac{9}{2}$．
此時(shí)x₁+x₂=-t=1=λ-2，λ=3．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，考查直線的斜率的求法，考查三角形面積的最大值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓、直線、導(dǎo)數(shù)等知識(shí)點(diǎn)的合理運(yùn)用．