已知函數(shù)f(x)=mx+
1x+n
(m,n∈Z),曲線y=f(x)在點(2,f(2))處的切線方程為y=3.
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的解析式;
(Ⅱ)設(shè)g(x)=aln(x-1)(a>0),若函數(shù)F(x)=f(x)+g(x)與x軸有兩個交點,求實數(shù)a的取值范圍.
分析:(Ⅰ)求導(dǎo)函數(shù),利用曲線y=f(x)在點(2,f(2))處的切線方程為y=3,建立方程,可求函數(shù)f(x)的解析式;
(Ⅱ)由(Ⅰ)得F(x)=aln(x-1)+
1
x-1
,定義域為(1,+∞),F(xiàn)′(x)=
ax-a-1
(x-1)2
,確定函數(shù)的單調(diào)性,求得函數(shù)的最小值,由此即可求出實數(shù)a的取值范圍.
解答:解:(Ⅰ)求導(dǎo)函數(shù),可得f′(x)=m-
1
(x+n)2

∵曲線y=f(x)在點(2,f(2))處的切線方程為y=3
∴f(2)=3,f′(2)=0
2m+
1
2+n
=3
,m-
1
(2+n)2
=0

m=1
n=-1
m=
9
4
n=-
8
3

由于m,n∈Z,所以
m=1
n=-1
,則f(x)=x+
1
x-1
.        (4分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)得F(x)=aln(x-1)+
1
x-1
,定義域為(1,+∞),F(xiàn)′(x)=
ax-a-1
(x-1)2
,由于a>0,
令F′(x)=0,得x=1+
1
a
,
當(dāng)x∈(1,1+
1
a
)
時,F(xiàn)′(x)<0,知F(x)在x∈(1,1+
1
a
)
時單調(diào)遞減,
同理,F(xiàn)(x)在x∈(1+
1
a
,+∞)
時單調(diào)遞增
所以F(x)min=F(1+
1
a
)
=a-alna
令a-alna<0,即a>e時,函數(shù)F(x)=0有兩個實數(shù)根
所以a的取值范圍是(a,+∞)
點評:本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用,考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,考查函數(shù)的單調(diào)性與最值,解題的關(guān)鍵是正確求導(dǎo).
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=m•2x+t的圖象經(jīng)過點A(1,1)、B(2,3)及C(n,Sn),Sn為數(shù)列{an}的前n項和,n∈N*
(1)求Sn及an;
(2)若數(shù)列{cn}滿足cn=6nan-n,求數(shù)列{cn}的前n項和Tn

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=m(x+
1
x
)的圖象與h(x)=(x+
1
x
)+2的圖象關(guān)于點A(0,1)對稱.
(1)求m的值;
(2)若g(x)=f(x)+
a
4x
在(0,2]上是減函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
m
n
,其中
m
=(sinωx+cosωx,
3
cosωx)
,
n
=(cosωx-sinωx,2sinωx),其中ω>0,若f(x)相鄰兩對稱軸間的距離不小于
π
2

(Ⅰ)求ω的取值范圍;
(Ⅱ)在△ABC中,a,b,c分別是角A,B,C的對邊,a=
3
,b+c=3,當(dāng)ω最大時,f(A)=1,求△ABC的面積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

以下兩題任選一題:(若兩題都作,按第一題評分)
(一):在極坐標(biāo)系中,圓ρ=2cosθ的圓心到直線θ=
π
3
(ρ∈R)的距離
3
2
3
2
;
(二):已知函數(shù)f(x)=m-|x-2|,m∈R,當(dāng)不等式f(x+2)≥0的解集為[-2,2]時,實數(shù)m的值為
2
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=m-|x-2|,m∈R,且f(x+2)≥0的解集為[-1,1].
(1)求m的值;
(2)若a,b,c∈R+,且
1
a
+
1
2b
+
1
3c
=m,求Z=a+2b+3c的最小值.

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