Question

已知數(shù)列{a_n}中，a=1，a_na_n+1=（

1

2

）ⁿ（n∈N^*），則數(shù)列{a_n}的前2n項(xiàng)的和為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：a_na_n+1=（

1

2

）ⁿ（n∈N^*），a₁=1．可得a₂=

1

2

，

an+2an+1

an+1an

=

1

2

，即an+2=

1

2

an．因此：數(shù)列{a_2n-1}是以a₁=1為首項(xiàng)，

1

2

為公比的等比數(shù)列；數(shù)列{a_2n}是以a2=

1

2

為首項(xiàng)，

1

2

為公比的等比數(shù)列．

解答： 解：∵a_na_n+1=（

1

2

）ⁿ（n∈N^*），a₁=1．
∴a₂=

1

2

，

an+2an+1

an+1an

=

1

2

，
∴an+2=

1

2

an．
∴數(shù)列{a_2n-1}是以a₁=1為首項(xiàng)，

1

2

為公比的等比數(shù)列；
數(shù)列{a_2n}是以a2=

1

2

為首項(xiàng)，

1

2

為公比的等比數(shù)列．
∴數(shù)列{a_n}的前2n項(xiàng)的和=（a₁+a₃+…+a_2n-1）+（a₂+a₄+…+a_2n）
=

1- 1 2n

1- 1 2

+

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

=2-

2

2n

+1-

1

2n

=3-

3

2n

．
故答案為：3-

3

2n

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式，考查了分類討論的思想方法，屬于中檔題．