給定數(shù)列a1，a2，……，an．對i＝1，2，3，…，n－1，該數(shù)列前i項的最大值記為Ai，后n－i項ai+1，ai+2，……，an的最小值記為Bi，di＝Ai－Bi．

(1)設數(shù)列{an}為3，4，7，1，寫出d1，d2，d3的值．

(2)設a1，a2，……，an(n≥4)是公比大于1的等比數(shù)列，且a1＞0，證明d1，d2，……，dn－1是等比數(shù)列．

(3)設d1，d2，……，dn－1是公差大于0的等差數(shù)列，且d1＞0，證明a1，a2，……，an－1是等差數(shù)列．

答案：
解析：

　　解：(1)，，

　　(2)因為，，，()是公比大于的等比數(shù)列，且

　　所以

　　所以當時，

　　所以當時，

　　所以，，，是等比數(shù)列．

　　(3)若，，，是公差大于的等差數(shù)列，則

　　，，，應是遞增數(shù)列，證明如下：

　　設是第一個使得的項，則

　　，，所以，與已知矛盾．

　　所以，，，，是遞增數(shù)列

　　再證明數(shù)列中最小項，否則()，則

　　顯然，否則，與矛盾

　　因而，此時考慮，矛盾

　　因此是數(shù)列中最小項

　　綜上，()

　　于是，也即，，，是等差數(shù)列


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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

18、對于給定的自然數(shù)n，如果數(shù)列a1，a2，…，am（m＞n）滿足：1，2，3，…，n的任意一個排列都可以在原數(shù)列中刪去若干項后的數(shù)列原來順序排列而得到，則稱a1，a2，…，am（m＞n）是“n的覆蓋列”．如1，2，1是“2的覆蓋數(shù)列”；1，2，2則不是“2的覆蓋數(shù)列”，因為刪去任何數(shù)都無法得到排列2，1，則以下四組數(shù)列中是“3的覆蓋數(shù)列”為（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•北京）給定數(shù)列a1，a2，…，an．對i=1，2，…，n-1，該數(shù)列前i項的最大值記為Ai，后n-i項ai+1，ai+2，…，an的最小值記為Bi，di=Ai-Bi．
（Ⅰ）設數(shù)列{an}為3，4，7，1，寫出d1，d2，d3的值；
（Ⅱ）設a1，a2，…，an-1（n≥4）是公比大于1的等比數(shù)列，且a1＞0．證明：d1，d2，…，dn-1是等比數(shù)列；
（Ⅲ）設d1，d2，…，dn-1是公差大于0的等差數(shù)列，且d1＞0．證明：a1，a2，…，an-1是等差數(shù)列．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

給定數(shù)列a1，a2，…，an．對i=1，2，…，n-1，該數(shù)列前i項的最大值記為Ai，后n-i項ai+1，ai+2，…，an的最小值記為Bi，di=Ai-Bi．
（Ⅰ）設數(shù)列{an}為3，4，7，1，寫出d1，d2，d3的值；
（Ⅱ）設a1，a2，…，an（n≥4）是公比大于1的等比數(shù)列，且a1＞0．證明：d1，d2，dn-1是等比數(shù)列．

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科目：高中數(shù)學 來源：2013年北京市高考數(shù)學試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

給定數(shù)列a1，a2，…，an．對i=1，2，…，n-1，該數(shù)列前i項的最大值記為Ai，后n-i項ai+1，ai+2，…，an的最小值記為Bi，di=Ai-Bi．
（Ⅰ）設數(shù)列{an}為3，4，7，1，寫出d1，d2，d3的值；
（Ⅱ）設a1，a2，…，an-1（n≥4）是公比大于1的等比數(shù)列，且a1＞0．證明：d1，d2，…，dn-1是等比數(shù)列；
（Ⅲ）設d1，d2，…，dn-1是公差大于0的等差數(shù)列，且d1＞0．證明：a1，a2，…，an-1是等差數(shù)列．

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