17.函數(shù)f(x)同時滿足:①對于定義域上的任意x,恒有f(-x)+f(x)=0;②對于定義域上的任意x1,x2,當x1≠x2時,恒有$\frac{{f({x_1})-f({x_2})}}{{{x_1}-{x_2}}}<0$,則稱函數(shù)f(x)為“理想函數(shù)”,則下列四個函數(shù)中:①$f(x)=\frac{1}{x}$;②f(x)=x2,③$f(x)=\left\{\begin{array}{l}-{x^2}(x≥0)\\{x^2}(x<0)\end{array}\right.$;④$f(x)={log_{\frac{1}{2}}}(\sqrt{{x^2}+1}+x)$可以稱為“理想函數(shù)”的有③④.

分析 由新定義可得f(x)為奇函數(shù)且為減函數(shù),則稱函數(shù)f(x)為“理想函數(shù)”.運用奇偶性的定義和二次函數(shù)和反比例函數(shù),以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,即可判斷.

解答 解:對照新定義可得,函數(shù)為奇函數(shù)且為減函數(shù),才為“理想函數(shù)”.
①$f(x)=\frac{1}{x}$滿足f(-x)+f(x)=0,但f(x)在定義域{x|x≠0}不為減函數(shù),則函數(shù)f(x)不為“理想函數(shù)”;
②f(x)=x2滿足f(-x)=f(x),即f(x)為偶函數(shù),則函數(shù)f(x)不為“理想函數(shù)”;
③$f(x)=\left\{\begin{array}{l}-{x^2}(x≥0)\\{x^2}(x<0)\end{array}\right.$,當x=0時,f(0)=0;當x>0時,-x<0,f(-x)=(-x)2=-f(x);同樣x<0時,也有f(-x)=-f(x),
綜上可得f(x)為奇函數(shù);當x<0時,f(x)遞減;當x>0時,f(x)也遞減;且f(x)連續(xù),故f(x)為“理想函數(shù)”;
④$f(x)={log_{\frac{1}{2}}}(\sqrt{{x^2}+1}+x)$,由x+$\sqrt{1+{x}^{2}}$>0,當x≥0時,顯然成立;當x<0時,$\sqrt{1+{x}^{2}}$>-x,
平方可得1+x2>x2成立,則定義域為R,f(-x)+f(x)=log${\;}_{\frac{1}{2}}$(-x+$\sqrt{1+{x}^{2}}$)+log${\;}_{\frac{1}{2}}$(x+$\sqrt{1+{x}^{2}}$)=log${\;}_{\frac{1}{2}}$(x2+1-x2)=0,
則f(x)為奇函數(shù);又x>0時,x+$\sqrt{1+{x}^{2}}$為遞增函數(shù),由復(fù)合函數(shù)的性質(zhì):同增異減,可得f(x)為減函數(shù),
則f(x)為“理想函數(shù)”.
故答案為:③④.

點評 本題考查新定義的理解和運用,主要考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性,注意運用定義法是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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12.以下四組函數(shù):
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可以通過平移f(x)的圖象得到g(x)圖象的是①②③④.

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