Question

（2013•陜西）已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)A（4，0），且在y軸上截得的弦MN的長為8．
（Ⅰ） 求動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程；
（Ⅱ） 已知點(diǎn)B（-1，0），設(shè)不垂直于x軸的直線與軌跡C交于不同的兩點(diǎn)P，Q，若x軸是∠PBQ的角平分線，證明直線過定點(diǎn)．

Answer 1

分析：（I）設(shè)圓心C（x，y），過點(diǎn)C作CE⊥y 軸，垂足為E，利用垂徑定理可得|ME|=

1

2

|MN|，又|CA|²=|CM|²=|ME|²+|EC|²，利用兩點(diǎn)間的距離公式即可得出．
（II）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由題意可知y₁+y₂≠0，y₁y₂＜0.

y

2 1

=8x1，

y

2 2

=8x2．利用角平分線的性質(zhì)可得k_PB=-k_QB，可化為化為8+y₁y₂=0．又直線PQ的方程為y-y1=

y2-y1

x2-x1

(x-x1)，代入化簡整理為y（y₁+y₂）+8=8x，令y=0，則x=1即可得到定點(diǎn)．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)圓心C（x，y），過點(diǎn)C作CE⊥y 軸，垂足為E，則|ME|=

1

2

|MN|，
∴|CA|²=|CM|²=|ME|²+|EC|²，
∴（x-4）²+y²=4²+x²，化為y²=8x．
（II）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由題意可知y₁+y₂≠0，y₁y₂＜0.

y

2 1

=8x1，

y

2 2

=8x2．
∵x軸是∠PBQ的角平分線，∴k_PB=-k_QB，
∴

y1

x1+1

=-

y2

x2+1

，∴

y1

y 2 1 8 +1

=

-y2

y 2 2 8 +1

，化為8+y₁y₂=0．
直線PQ的方程為y-y1=

y2-y1

x2-x1

(x-x1)，
∴y-y1=

y2-y1

y 2 2 8 - y 2 1 8

(x-x1)，化為y-y1=

8

y2+y1

(x-

y 2 1

8

)，
化為y(y2+y1)-y1(y2+y1)=8x-

y

2 1

，
y（y₁+y₂）+8=8x，令y=0，則x=1，
∴直線PQ過 定點(diǎn)（1，0）

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、垂徑定理、兩點(diǎn)間的距離公式、直線與拋物線相交問題、直線方程及過定點(diǎn)問題、斜率計(jì)算公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查了推理能力、數(shù)形結(jié)合的思想方法、計(jì)算能力、分析問題和解決問題的能力．