Question

已知函數(shù)，等比數(shù)列{a_n}的前n項和為f（n）-c，正項數(shù)列{b_n}的首項為c，且前n項和S_n滿足S_n-S_n-1=+（n≥2）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）證明數(shù)列{}是等差數(shù)列，并求S_n；
（3）若數(shù)列{}前n項和為T_n，問的最小正整數(shù)n是多少？
（4）設(shè)，求數(shù)列{c_n}的前n項和P_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）因為，，．數(shù)列{a_n}成等比數(shù)列，能求出數(shù)列{a_n}的通項公式．
（2）由，n≥2，知，（n≥2），由此能夠證明數(shù)列{}是等差數(shù)列，并求出S_n．
（3）由（2）得，當n≥2時，b_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1，故，由此利用裂項求和法能求出滿足的最小正整數(shù)．
（4）由，知，由此利用錯位相減法能夠求出數(shù)列{c_n}的前n項和P_n．
解答：解：（1）因為，
，
．
又數(shù)列{a_n}成等比數(shù)列，
所以==-=，
解得c=1．…（2分）
又公比q=，
所以=-2•（）^n-1，n∈N^*．…（3分）
（2）∵，n≥2，
即，n≥2
∴，（n≥2）…（5分）
又
∴數(shù)列{}構(gòu)成一個首項為1，公差為1的等差數(shù)列，
∴=1+（n-1）×1=n，∴．…（6分）
（3）由（2）得，
當n≥2時，b_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1，（*）
又b₁=S₁=1，適合（*）式
∴b_n=2n-1，（n∈N^*） …（8分）
∵，
∴
=
=（1-）=，…（10分）
由T_n=＞，得n＞，
故滿足的最小正整數(shù)為112．…（11分）
（4）．…（12分）
∴①②
②-①得

∴．…（14分）
點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的前n項和的求法，解題時要認真審題，注意裂項求和法、錯位相減法的合理運用．