Question

18．設h（x）=$\frac{1}{x}$，g（x）=lnx，b＞a＞0，M=g（b）-g（a），N=$\frac{1}{2}$（b-a）（h（a）+h（b）），則以下關系一定正確的是（　�。�

• A． M²＞N
• B． M²＜N
• C． M＞N
• D． M＜N

Answer 1

分析 分別求出M，N，作差得到M-N=lnb-lna-$\frac{1}{2}$（$\frac{a}$-$\frac{a}$），令t=$\frac{a}$，（t＞1），令g（t）=lnt-$\frac{1}{2}$（t-$\frac{1}{t}$），（t＞1），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出g（x）＜0即可判斷M、N的大小．

解答 解：∵h（x）=$\frac{1}{x}$，g（x）=lnx，b＞a＞0，
∴M=g（b）-g（a）=lnb-lna，
N=$\frac{1}{2}$（b-a）（h（a）+h（b））=$\frac{1}{2}$（b-a）（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$）=$\frac{1}{2}$（$\frac{a}$-$\frac{a}$），
∴M-N=lnb-lna-$\frac{1}{2}$（$\frac{a}$-$\frac{a}$），
令t=$\frac{a}$，（t＞1），令g（t）=lnt-$\frac{1}{2}$（t-$\frac{1}{t}$），（t＞1），
則g′（t）=$\frac{1}{t}$-$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{{t}^{2}}$），g″（t）=$\frac{1-t}{{t}^{3}}$＜0，
g′（t）在（1，+∞）遞減，g′（t）＜g′（1）=0，
∴g（t）在（1，+∞）遞減，
∴g（t）＜g（1）＜0，
∴M-N＜0，即M＜N，
故選：D．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導數(shù)的應用，是一道中檔題．