Question

△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別是A（1，-1，2），B（5，-6，2），C（1，3，-1），則AC邊上的高BD長為

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)A、C、D三點(diǎn)共線，設(shè)

AD

=λ

AC

，利用向量垂直的充要條件建立關(guān)于λ的方程，解出λ的值．由此得到向量

BD

的坐標(biāo)，再利用向量模的坐標(biāo)公式即可求出AC邊上的高BD的長．

解答：解：∵A（1，-1，2），B（5，-6，2），C（1，3，-1），
∴

AB

=（4，-5，0），

AC

=（0，4，-3），
∵點(diǎn)D在直線AC上，
∴設(shè)

AD

=λ

AC

=（0，4λ，-3λ），
由此可得

BD

=

AD

-

AB

=（0，4λ，-3λ）-（4，-5，0）=（-4，4λ+5，-3λ），
又∵

BD

⊥

AC

，
∴

BD

•

AC

=-4×0+（4λ+5）×4+（-3λ）×（-3）=0，解得λ=-

4

5

．
因此

BD

=（-4，4λ+5，-3λ）=（-4，

9

5

，

12

5

），
可得|

BD

|=

(-4)2+( 9 5 )2+( 12 5 )2

=5
故答案為：5

點(diǎn)評(píng)：本題給出空間的點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)，求點(diǎn)B到直線AC的垂線段的BD的長．著重考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算、向量共線與垂直的充要條件、向量的模長公式等知識(shí)，屬于中檔題．