Question

各項均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}滿足a_n²＝4S_n－2a_n－1(n∈N^*)，其中S_n為{a_n}的前n項和．

(1)求a₁，a₂的值；

(2)求數(shù)列{a_n}的通項公式；

(3)是否存在正整數(shù)m、n，使得向量a＝(2a_n＋2，m)與向量b＝(－a_n＋5,3＋a_n)垂直？說明理由．

 

Answer 1

【答案】

(1) a₁＝1  a₂＝3  (2) a_n＝2n－1   (3)見解析

【解析】解：(1)當(dāng)n＝1時，

A₁²＝4S₁－2a₁－1＝2a₂－1，

即(a₁－1)²＝0，解得a₁＝1.

當(dāng)n＝2時，a₂²＝4S₂－2a₂－1＝4a₁＋2a₂－1＝3＋2a₂，

解得a₂＝3或a₂＝－1(舍去)．

(2)a_n²＝4S_n－2a_n－1，①

An+1²＝4S_n＋1－2a_n＋1－1.②

②－①得：a n+1²－a_n²＝4a_n＋1－2a_n＋1＋2a_n

＝2(a_n＋1＋a_n)，

即(a_n＋1－a_n)(a_n＋1＋a_n)＝2(a_n＋1＋a_n)．

∵數(shù)列{a_n}各項均為正數(shù)，

∴a_n＋1＋a_n>0，a_n＋1－a_n＝2，

∴數(shù)列{a_n}是首項為1，公差為2的等差數(shù)列．

∴a_n＝2n－1.

(3)∵a_n＝2n－1，

∴a＝(2a_n＋2，m)＝(2(2n＋3)，m)≠0，b＝(－a_n＋5,3＋a_n)＝(－(2n＋9)，2(n＋1))≠0，

∴a⊥b⇔a·b＝0

⇔m(n＋1)＝(2n＋3)(2n＋9)＝[2(n＋1)＋1][2(n＋1)＋7]

⇔m(n＋1)＝4(n＋1)²＋16(n＋1)＋7

⇔m＝4(n＋1)＋16＋.

∵m，n∈N^*，

∴n＋1＝7，m＝4×7＋16＋1，

即n＝6，m＝45.

∴當(dāng)n＝6，m＝45時，a⊥b.