已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
(a>b>0)的離心率
2
2
,橢圓上任意一點(diǎn)到右焦點(diǎn)F的距離的最大值為
2
+1,過(guò)M(2,0)任作一條斜率為k(k≠0)的直線(xiàn)l與橢圓交與不同的兩點(diǎn)A、B,點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為Q.
(1)當(dāng)k=-
3
3
時(shí),求證:Q、F、B三點(diǎn)共線(xiàn);
(2)求△MBQ面積的最大值.
考點(diǎn):直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題
專(zhuān)題:圓錐曲線(xiàn)中的最值與范圍問(wèn)題
分析:(1)由已知得
e=
c
a
=
2
2
a+c=
2
+1
a2=b2+c2
,從而求出橢圓方程為
x2
2
+y2=1
.設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=k(x-2),由方程組
y=k(x-2)
x2+2y2=2
,得(1+2k2)x2-8k2x+8k2-2=0,由此利用根的判別式、韋達(dá)定理、向量知識(shí)結(jié)合已知條件能證明Q,F(xiàn),B三點(diǎn)共線(xiàn).
(2)S△BMQ=
1
2
|BF|•(|y1|+|y2|)
,由此利用橢圓弦長(zhǎng)公式和基本不等式能求出△BMQ面積S的最大值.
解答: (1)證明:∵橢圓
x2
a2
+
y2
b2
(a>b>0)的離心率e=
2
2
,
橢圓上任意一點(diǎn)到右焦點(diǎn)F的距離的最大值為
2
+1,
e=
c
a
=
2
2
a+c=
2
+1
a2=b2+c2
,解得a=
2
,b=c=1
,
∴橢圓方程為
x2
2
+y2=1

設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=k(x-2),B(x1,y1),A(x2,y2),則Q(x2,-y2),
由方程組
y=k(x-2)
x2+2y2=2
,消去y,得:
(1+2k2)x2-8k2x+8k2-2=0,①
△=-8(2k2-1)≥0
x1+x2=
8k2
1+2k2
x1x2=
8k2-2
1+2k2
.②
當(dāng)k=-
3
3
時(shí),
△=
8
3
>0
x1+x2=
8
5
x1x2=
2
5
,
FQ
=(x2-1,-y2)
FB
=(x1-1,y1),
(x2-1)y1+y2(x1-1)y1+y2(x1-1)
=(x2-1)k(x1-2)+k(x2-1)(x1-1)
=k[2x1x2-3(x1+x2)+4]
=k(2×
2
5
-3×
8
5
+4)=0,
FQ
FB
,從而Q,F(xiàn),B三點(diǎn)共線(xiàn).
(2)S△BMQ=
1
2
|BF|•(|y1|+|y2|)

=
1
2
(|y1|+|y2|)

=
1
2
|k(x1+x2)-4k|

=
4|k|
1+2k2

=
4
2|k|+
1
|k|
2

當(dāng)且僅當(dāng)“k2=
1
2
”時(shí),等號(hào)成立,
∴△BMQ面積S的最大值為
2
點(diǎn)評(píng):本題考查三點(diǎn)共線(xiàn)的證明,考查三角形面積的最大值的求法,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如果角θ的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(-
3
2
,
1
2
),那么tanθ等于( 。
A、
1
2
B、
3
2
C、-
3
3
D、-
3
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

若a>b>0,且a+b=1,則下列式子中最大的是( 。
A、log2a+log2b+1
B、log2a
C、log2(a2+b2
D、-1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖所示的幾何體是由以等邊三角形ABC為底面的棱柱被平面DEF所截而得,AB=2,BD=1,AF=a.
(Ⅰ)當(dāng)a=4時(shí),求平面DEF與平面ABC的夾角的余弦值;
(Ⅱ)當(dāng)a為何值時(shí)在DE上存在一點(diǎn)P,使CP⊥平面DEF?如果存在,求出DP的長(zhǎng);若不存在,問(wèn)題補(bǔ)充.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,在平面直角坐標(biāo)系xoy中,橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的離心率為
1
2
,過(guò)橢圓由焦點(diǎn)F作兩條互相垂直的弦AB與CD.當(dāng)直線(xiàn)AB斜率為0時(shí),弦AB長(zhǎng)4.
(1)求橢圓的方程;
(2)若|AB|+|CD|=
48
7
.求直線(xiàn)AB的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
2x
x2+1
,求函數(shù)的定義域、值域,并判斷奇偶性和單調(diào)性.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

平面內(nèi)給定三個(gè)向量
a
=(3,2),
b
=(-1,2),
c
=(4,1).
(Ⅰ)若(
a
+k
c
)∥(2
b
-
a
),求實(shí)數(shù)k的值;
(Ⅱ)設(shè)
d
=(x,y),且滿(mǎn)足(
d
-
c
)⊥(
a
-
b
)且|
d
-
c
|=
5
,求
d
的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x2的圖象上一點(diǎn)(1,1)及鄰近一點(diǎn)(1+△x,1+△y),則
△y
△x
等于( 。
A、2
B、2+△x
C、2+2△x
D、2△x+(△x)2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知定義在[-3,3]上的函數(shù)y=f(x)是增函數(shù),若f(m+1)>f(2m-1),求m的取值范圍.

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