Question

【題目】已知在數列{an}中， ．，n∈N*
（1）求證：1＜an+1＜an＜2；
（2）求證： ；
（3）求證：n＜sn＜n+2．

Answer 1

【答案】
（1）證明：先用數學歸納法證明1＜an＜2．

①．n=1時 ，

②．假設n=k時成立，即1＜ak＜2．

那么n=k+1時， 成立．

由①②知1＜an＜2，n∈N*恒成立. ．

所以1＜an+1＜an＜2成立．

（2）證明： ，

當n≥3時， 而1＜an＜2．所以 ．

由 ，得 ，

所以

（3）證明：由（1）1＜an＜2得sn＞n

由（2）得 ，

【解析】（1）先用數學歸納法證明1＜an＜2．由. ．可證得1＜an+1＜an＜2成立．（2） ，
當n≥3時，由 ，得 ，
，

即可證得 （3）由（1）1＜an＜2得sn＞n
由（2）得 ，

【考點精析】根據題目的已知條件，利用數列的通項公式的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式．