Question

5．函數(shù)f（x）=a^x-xlna（a＞0且a≠1）的最小值為1．

Answer 1

分析 求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)的解析式，對(duì)實(shí)數(shù)a分類討論后，分別令y′＞0，y′＜0，求得單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最小值即可．

解答 解：∵f（x）=a^x-xlna，
∴f′（x）=a^xlna-lna=（a^x-1）lna，
當(dāng)a＞1時(shí)，lna＞0，
令f′（x）＞0，即a^x-1＞0，解得x＞0
令f′（x）＜0，即a^x-1＜0，解得x＜0；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，lna＜0，
令f′（x）＞0，即a^x-1＜0，解得x＞0
令f′（x）＜0，即a^x-1＞0，解得x＜0；
∴f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減，在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
∴f（x）的最小值是f（0）=1，
故答案為：1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，是一道中檔題．