Question

2．如圖，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，E、F分別是AB、PD的中點，∠ADP=45°．
（1）求證：AF∥平面PCE．
（2）求證：平面PCD⊥平面PCE．
（3）若AD=2，CD=3，求點F到平面PCE的距離．

Answer 1

分析 （1）設(shè)M為PC中點，連接ME、MF．推導出四邊形AEMF為平行四邊形，從而AF∥ME，由此能證明AF∥平面PCE．
（2）推導出△PAD為等腰直角三角形，AF⊥PD，AF⊥CD，從而AF⊥平面PCD．由此能證明平面PCE⊥平面PCD．
（3）過點F作FG⊥PC，交PC于G，F(xiàn)G為點F到平面PCE的距離，由此能求出結(jié)果．

解答 證明：（1）設(shè)M為PC中點，連接ME、MF．
則MF∥$\frac{1}{2}$CD，MF=$\frac{1}{2}$CD，AE∥$\frac{1}{2}$CD，AE=$\frac{1}{2}$CD
∴MF∥AE，MF=AE∴四邊形AEMF為平行四邊形．…（2分）
∴AF∥ME，又∵ME?平面PCE，AF?平面PCE
∴AF∥平面PCE．…（4分）
（2）∵PA⊥平面ABCD，∠PDA=45°，
∴△PAD為等腰直角三角形，∵PF=FD，
∴AF⊥PD，又∵PA⊥平面ABCD，PA?平面PAD，
∴平面PAD⊥平面ABCD．…（6分）
∵平面PAD∩平面ABCD=AD，
CD⊥AD，CD?平面ABCD．
∴CD⊥平面PAD，∴AF⊥CD，
又∵PD∩CD=D，∴AF⊥平面PCD．
∵EM∥AF，
∴EM⊥平面PCD．
∵EM?平面PCE，
∴平面PCE⊥平面PCD．…（8分）
解：（3）過點F作FG⊥PC，交PC于G，
∵平面PCE⊥平面PCD，∴FG⊥平面PCE，即FG為點F到平面PCE的距離．…（10分）
在Rt△PCD中，PD=2$\sqrt{2}$，PC=$\sqrt{17}$．
∵△PFG∽△PCD，∴$\frac{PF}{PC}$=$\frac{FG}{CD}$，即$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{17}}$=$\frac{FG}{3}$
∴點F到平面PCE的距離FG=$\frac{3\sqrt{34}}{17}$．…（12分）

點評 本題考查線面平行的證明，考查面面垂直的證明，考查點到直線的距離的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．