【題目】如圖,PDCE為矩形,ABCD為梯形,平面PDCE⊥平面ABCD,∠BAD=∠ADC=90°,AB=AD=CD=1,PD=.
(1)若M為PA中點(diǎn),求證:AC∥平面MDE;
(2)求直線PE與平面PBC所成角的正弦值.
(3)在PC上是否存在一點(diǎn)Q,使得平面QAD與平面PBC所成銳二面角的大小為.
【答案】(1)證明見解析(2)(3)存在
【解析】
(1)連結(jié)PC,交DE與N,可得N為PC中點(diǎn),結(jié)合已知,可證MN∥AC,即可證明結(jié)論;
(2)建立空間直角坐標(biāo)系,求出坐標(biāo),進(jìn)而求出坐標(biāo)及平面PBC法向量坐標(biāo),根據(jù)空間向量的線面角公式,即可求解;
(3)設(shè),求出平面的法向量坐標(biāo),按照空間向量的面面角公式,求出,并判斷是否滿足條件.
(1)連結(jié)PC,交DE與N,連結(jié)MN,
∵△PAC中,M,N分別為兩腰PA,PC的中點(diǎn),
∴MN∥AC因?yàn)?/span>MN面MDE,又面MDE,
所以AC∥平面MDE
(2)∵∠ADC=90°,∴AD⊥DC,又AD平面ABCD,
平面PDCE∩平面ABCD,∴AD⊥平面PDCE,
又PD平面PDCE,∴AD⊥PD,以D為空間坐標(biāo)系的原點(diǎn),
分別以DA,DC,DP所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,
則,,
,設(shè)面PBC的法向量,應(yīng)有即:
令,則,所以,
設(shè)PE與PBC所成角的大小為θ,∵,
∴,
直線PE與平面PBC所成角的正弦值.
(3)設(shè)則
,設(shè)平面QAD的法向量為,即:
則,令,則,所以
∵面PBC的法向量,
平面QAD與平面PBC所成銳二面角的大小為.∴,
整理得,解得或,
∴PC上存在點(diǎn)Q滿足條件,Q與P重合,或.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知雙曲線過點(diǎn)(3,-2)且與橢圓4x2+9y2=36有相同的焦點(diǎn).
(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若點(diǎn)M在雙曲線上,F(xiàn)1,F(xiàn)2為左、右焦點(diǎn),且|MF1|+|MF2|=6,試判別△MF1F2的形狀.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】函數(shù)(,是自然對(duì)數(shù)的底數(shù),)存在唯一的零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍為( )
A. B. C. D.
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【題目】如圖所示,在長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1,若AB=BC,E,F分別是AB1,BC1的中點(diǎn),則下列結(jié)論中不成立的是( )
A.EF與BB1垂直B.EF⊥平面BDD1B1
C.EF與C1D所成的角為45°D.EF∥平面A1B1C1D1
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】AB是圓O的直徑,點(diǎn)C是圓O上異于AB的動(dòng)點(diǎn),過動(dòng)點(diǎn)C的直線VC垂直于圓O所在平面,D,E分別是VA,VC的中點(diǎn).
(1)判斷直線DE與平面VBC的位置關(guān)系,并說明理由;
(2)當(dāng)△VAB為邊長(zhǎng)為的正三角形時(shí),求四面體V﹣DEB的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知是圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)作兩條直線,它們與橢圓都只有一個(gè)公共點(diǎn),且分別交圓于點(diǎn).
(Ⅰ)若,求直線的方程;
(Ⅱ)①求證:對(duì)于圓上的任意點(diǎn),都有成立;
②求面積的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】AB是圓O的直徑,點(diǎn)C是圓O上異于AB的動(dòng)點(diǎn),過動(dòng)點(diǎn)C的直線VC垂直于圓O所在平面,D,E分別是VA,VC的中點(diǎn).
(1)判斷直線DE與平面VBC的位置關(guān)系,并說明理由;
(2)當(dāng)△VAB為邊長(zhǎng)為的正三角形時(shí),求四面體V﹣DEB的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某書店剛剛上市了《中國(guó)古代數(shù)學(xué)史》,銷售前該書店擬定了5種單價(jià)進(jìn)行試銷,每種單價(jià)(元)試銷l天,得到如表單價(jià)(元)與銷量(冊(cè))數(shù)據(jù):
單價(jià)(元) | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 |
銷量(冊(cè)) | 61 | 56 | 50 | 48 | 45 |
(l)根據(jù)表中數(shù)據(jù),請(qǐng)建立關(guān)于的回歸直線方程:
(2)預(yù)計(jì)今后的銷售中,銷量(冊(cè))與單價(jià)(元)服從(l)中的回歸方程,已知每?jī)?cè)書的成本是12元,書店為了獲得最大利潤(rùn),該冊(cè)書的單價(jià)應(yīng)定為多少元?
附:,,,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】空氣質(zhì)量指數(shù)是檢測(cè)空氣質(zhì)量的重要參數(shù),其數(shù)值越大說明空氣污染狀況越嚴(yán)重,空氣質(zhì)量越差.某地環(huán)保部門統(tǒng)計(jì)了該地區(qū)某月1日至24日連續(xù)24天的空氣質(zhì)量指數(shù),根據(jù)得到的數(shù)據(jù)繪制出如圖所示的折線圖,則下列說法錯(cuò)誤的是( )
A. 該地區(qū)在該月2日空氣質(zhì)量最好
B. 該地區(qū)在該月24日空氣質(zhì)量最差
C. 該地區(qū)從該月7日到12日持續(xù)增大
D. 該地區(qū)的空氣質(zhì)量指數(shù)與這段日期成負(fù)相關(guān)
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