Question

已知雙曲線與橢圓有公共焦點，且以拋物線y²=2x的準線為雙曲線C的一條準線．動直線l過雙曲線C的右焦點F且與雙曲線的右支交于P、Q兩點．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）無論直線l繞點F怎樣轉動，在雙曲線C上是否總存在定點M，使MP⊥MQ恒成立？若存在，求出點M的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）又橢圓得焦點坐標，得出雙曲線中c的值，再由拋物線y²=2x的準線為雙曲線C的一條準線，得出雙曲線中a的值，則b可求，雙曲線C的方程可得．
（2）先假設存在在定點M，使MP⊥MQ恒成立，設出M點坐標，根據MP⊥MQ，求P點坐標，如能求出，則P存在，求不出，則P不存在．
解答：解：（1）設F（c，0）（c＞0），則由題意有：∴c²=4，a²=1，b²=3
故雙曲線C的方程為，
（2：由（1）得點F為（2，0）
當直線l的斜率存在時，設直線方程y=k（x-2），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
將方程y=k（x-2）與雙曲線方程聯(lián)立消去y得：（k²-3）x²-4k²x+4k²+3=0，
∴解得k²＞3
假設雙曲線C上存在定點M，使MP⊥MQ恒成立，設為M（m，n）
則：=（x₁-m）（x₂-m）+[k（x₁-2）-n][k（x₂-2）-n]
=（k²+1）x₁x₂-（2k²+kn+m）（x₁+x₂）+m²+4k²+4kn+n²==
∵MP⊥MQ，∴，
故得：（m²+n²-4m-5）k²-12nk-3（m²+n²-1）=0對任意的k²＞3恒成立，
∴，解得
∴當點M為（-1，0）時，MP⊥MQ恒成立；
當直線l的斜率不存在時，由P（2，3），Q（2，-3）知點M（-1，0）使得MP⊥MQ也成立．
又因為點（-1，0）是雙曲線C的左頂點，
所以雙曲線C上存在定點M（-1，0），使MP⊥MQ恒成立．
點評：本題考查三種圓錐曲線的關系，以及存在性問題，綜合性強，須認真審題．