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如圖，四棱錐P－ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝2，∠PDA＝45°，點E，F分別為棱AB，PD的中點．

(Ⅰ)在現有圖形中，找出與AF平行的平面，并給出證明；

(Ⅱ)判斷平面PCE與平面PCD是否垂直？若垂直，給出證明；若不垂直，說明理由．

答案：
解析：

　　解：(Ⅰ)平面與平行　　1分

　　取中點，連，因為是中點，所以，在正方形中，，所以，所以為平行四邊形，所以，所以平面　　6分

　　(Ⅱ)由平面，所以面，又面，所以，由(I)知，易證

　　所以面，又面，所以，面PCD面PEC　　12分

　　(也可用空間向量法)

　　以A為原點AB為X軸、AD為Y軸、AP為Z軸，建立空間坐標系　　1分

　　易求A(0，0，0)，F(0，1，1)，G(1，1，1)，E(1，0，0)，

　　P(0，0，2)，D(0，2，0)，C(2，2，0)　　3分

　　，所以AF∥面PEG　　6分

　　設面PCD的法向量為＝(x，y，z)，由D得x＝0，y＝z．

　　令　　8分

　　設面PEC的法向量為，

　　由得，可令　　10分

　　因為，所以，面PCD面PEC　　12分


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，點E在線段AD上，CE∥AB．
（Ⅰ）求證：CE⊥平面PAD；
（Ⅱ）若PA=AB=1，AD=3，且CD與平面PAD所成的角為45°，求點D到平面PCE的距離．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是正方形，AC∩BD=O，PA⊥底面ABCD，OE⊥PC于E．
（1）求證：PC⊥平面BDE；
（2）設PA=AB=2，求二面角B-PC-D的大�。�

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=1，AD=
3
，點F是PB中點．
（Ⅰ）若E為BC中點，證明：EF∥平面PAC；
（Ⅱ）若E是BC邊上任一點，證明：PE⊥AF；
（Ⅲ）若BE=
3
3
，求直線PA與平面PDE所成角的正弦值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PD⊥平面ABCD，點E，F分別是AB和PC的中點．
（1）求證：EF∥平面PAD；
（2）若CD=2PD=2AD=2，四棱錐P-ABCD外接球的表面積．

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科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網如圖，四棱錐P-ABCD，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=
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CD=2，PA=2，M，E，F分別是PA，PC，PD的中點．
（1）證明：EF∥平面PAB；
（2）證明：PD⊥平面ABEF；
（3）求直線ME與平面ABEF所成角的正弦值．

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