Question

已知關于x的不等式（ax-1）（x+1）＞0．
（1）若此不等式的解集為{x|-1＜x＜-

1

2

}，求實數a的值；
（2）若a∈R，解這個關于x的不等式．

Answer 1

考點：一元二次不等式的解法

專題：分類討論,不等式的解法及應用

分析：（1）根據不等式（ax-1）（x+1）＞0的解集與對應方程之間的關系，求出a的值；
（2）討論a的取值，求出對應不等式的解集來．

解答： 解：（1）∵不等式（ax-1）（x+1）＞0的解集為{x|-1＜x＜-

1

2

}，
∴方程（ax-1）（x+1）=0的兩根是-1，-

1

2

；
∴-

1

2

a-1=0，
∴a=-2；
（2）∵（ax-1）（x+1）＞0，
∴a＜0時，不等式可化為（x-

1

a

）（x+1）＜0；
若a＜-1，則

1

a

＞-1，解得-1＜x＜

1

a

；
若a=-1，則

1

a

=-1，解得不等式為∅；
若-1＜a＜0，則

1

a

＜-1，解得

1

a

＜x＜-1；
a=0時，不等式為-（x+1）＞0，解得x＜-1；
當a＞0時，不等式為（x-

1

a

）（x+1）＞0，
∵

1

a

＞-1，∴解不等式得x＜-1或x＞

1

a

；
綜上，a＜-1時，不等式的解集為{x|-1＜x＜

1

a

}；
a=-1時，不等式的解集為∅；
-1＜a＜0時，不等式的解集為{x|

1

a

＜x＜-1}；
a=0時，不等式的解集為{x|x＜-1}；
當a＞0時，不等式的解集為{x|x＜-1，或x＞

1

a

}．

點評：本題考查了含有字母系數的不等式的解法與應用問題，解題時應用分類討論思想，是中檔題．