Question

（1）求證：“{a_n}是等差數(shù)列”的充要條件是“存在常數(shù)k和b，使a_n=kn+b對(duì)一切n∈N^*都成立”；
（2）試問：是否存在等差數(shù)列{a_n}滿足a_n=a_n²-na_n+1（n∈N^*）？若存在，請(qǐng)求出通項(xiàng)公式；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等差數(shù)列的定義進(jìn)行證明．（2）根據(jù)等差數(shù)列的定義推導(dǎo)通項(xiàng)公式，

解答：解：（1）充分性．因?yàn)閍_n=kn+b對(duì)一切n∈N^*都成立，所以a_n+1=k（n+1）+b，
兩式相減得a_n+1-a_n=kn+b-[k（n+1）+b]=k為常數(shù)，所以：{a_n}是等差數(shù)列．
必要性：若：{a_n}是等差數(shù)列，設(shè)公差為k，a_n=kn+b=a₁+（n-1）k=kn+a₁-k
取b=a₁-k，則a_n=kn+b成立．
（2）假設(shè)存在等差數(shù)列{a_n}滿足a_n=a_n²-na_n+1（n∈N^*），設(shè)a_n=kn+b，代入a_n=a_n²-na_n+1，得（k²-k）n²+（2bk-b-k）n+b²+1-k-b=0，
從而

k2-k=0        ① 2bk-b-k=0  ② b2+1-k-b=0  ③

，由①得k=0或k=1．若k=0，代入②得b=0不滿足③．
當(dāng)k=1時(shí)，解得b=1，所以a_n=n+1．
故等差數(shù)列{n+1}滿足性質(zhì)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等差數(shù)列的定義和證明，利用定義是解決本題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的運(yùn)算能力．