Question

求函數(shù)f（x）=

2x

x2+1

-2的極值．

Answer 1

分析：由題意對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后解f′（x）=0方程，得到x=-1或x=1，將（-∞，+∞）分為三個(gè)區(qū)間，最后通過列表得出導(dǎo)數(shù)在這三個(gè)區(qū)間的符號(hào)，討論出函數(shù)的單調(diào)性，即可得出函數(shù)的最大最小值．

解答：解：由于函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽
f'（x）=

2(x2+1)-4x2

(x2+1)2

=

-2(x-1)(x+1)

(x2+1)2

令f'（x）=0得x=-1或x=1列表：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘	極小值	↗	極大值	↘

由上表可以得到
當(dāng)x∈（-∞，-1）和x∈（1，+∞）時(shí)函數(shù)為減函數(shù)
當(dāng)x∈（-1，1）時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)
所以當(dāng)x=-1時(shí)函數(shù)有極小值為-3；當(dāng)x=1時(shí)函數(shù)有極大值為-1

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的求導(dǎo)及極值的概念，其基本思路是利用導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)求出可能的極值點(diǎn)，再利用表格討論導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，從而求其單調(diào)區(qū)間，最后得出函數(shù)的極值，這是典型的化歸思想．