Question

15．如圖，AB是⊙O的直徑，弦BD、CA的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E，F(xiàn)為BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且滿足BD•BE=BA•BF．求證：
（1）△ADB∽△EFB；
（2）∠DFB+∠DBC=90°．

Answer 1

分析 （1）利用BD•BE=BA•BF，可得$\frac{BD}{BA}$=$\frac{BF}{BE}$，從而可知△ADB∽△EFB，即可得到結(jié)論；
（2）先證明E、F、A、D四點(diǎn)共圓，從而可得∠DFB=∠AEB，利用AB是⊙O的直徑，可證結(jié)論成立．

解答 證明：（1）連接AD，則∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°
在△ADB和△EFB中，
∵BD•BE=BA•BF，
∴$\frac{BD}{BA}$=$\frac{BF}{BE}$…（2分）
又∠DBA=∠EBF，
∴△ADB∽△EFB．…（5分）
（2）在△ADB中，∠ADB=∠ADE=90°
又∠EFB=90°∴E、F、A、D四點(diǎn)共圓；                   …（7分）
∴∠DFB=∠AEB，…（9分）
又AB是⊙O的直徑，則∠ACB=90°，
∴∠DFB+∠DBC=∠AEB+∠DBC=90°．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形的相似，考查四點(diǎn)共圓，掌握三角形相似的判定方法是關(guān)鍵，屬于中檔題．