【題目】已知函數(shù).
(1)若,求函數(shù)的極值;
(2)當時,,求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)詳見解析;(2)
【解析】
(1)當時,,先求定義域,再求導并判斷單調性,即可求出函數(shù)的極值;
(2)將代入得,即,令,只需求出即可,,令,利用導數(shù)研究其單調性可得所以在上單調遞增,且,對分和,即可求出答案.
(1)當時,,函數(shù)的定義域為,
所以.
當,,所以函數(shù)在上單調遞增;
當時,,函數(shù)在上單調遞減.
所以當時,函數(shù)有極大值,無極小值.
(2)依題意,得,即,
令,
所以,令,則.
令,所以,
所以在上單調遞增,又,當時,,
所以在上單調遞增,且.
當時,,,在上單調遞增,
,滿足條件;
當時,.
又因為,
所以,使得,
當,當,
所以在上單調遞減,,都有,不符合題意.
綜上所述,實數(shù)的取值范圍為.
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【題目】已知函數(shù),.若函數(shù)的圖象在點處的切線與的圖象也相切.
(1)求的方程和的值;
(2)設不等式對任意的恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】在平面直角坐標系中,已知是曲線:上的動點,將繞點順時針旋轉得到,設點的軌跡為曲線.以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系.
(1)求曲線,的極坐標方程;
(2)在極坐標系中,點,射線與曲線,分別相交于異于極點的兩點,求的面積.
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【題目】已知橢圓過點.其左、右兩個焦點分別為、,短軸的一個端點為,且.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)設直線:與橢圓交于不同的兩點,,且為坐標原點.若,求的面積的最大值.
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【題目】在平面直角坐標系中,拋物線的焦點為,(其中)是上的一點,且.
(1)求拋物線的方程;
(2)已知為拋物線上除頂點之外的任意一點,在點處的切線與軸交于點,過點的直線交拋物線于,兩點,設,,的斜率分別為,,,求證:,,成等比數(shù)列.
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【題目】在四棱錐中, 平面, , , , .
(1)證明;
(2)求二面角的余弦值;
(3)設點為線段上一點,且直線平面所成角的正弦值為,求的值.
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【題目】某銀行推銷甲、乙兩種理財產(chǎn)品(每種產(chǎn)品限購30萬).每一件產(chǎn)品根據(jù)訂單金額不同劃分為:訂單金額不低于20萬為大額訂單,低于20萬為普通訂單.銀監(jiān)部門隨機調取購買這兩種產(chǎn)品的客戶各100戶,對他們的訂單進行分析,得到如圖所示的頻率分布直方圖:
將此樣本的頻率估計視為總體的概率.購買一件甲產(chǎn)品,若是大額訂單可盈利2萬元,若是普通訂單則虧損1萬元,購買一件乙產(chǎn)品,若是大額訂單可盈利1.5萬元,若是普通訂單則虧損0.5萬元.
(1)記X為購買1件甲產(chǎn)品和1件乙產(chǎn)品所得的總利潤,求隨機變量X的數(shù)學期望;
(2)假設購買4件甲產(chǎn)品和4件乙產(chǎn)品所獲得的利潤相等.
(i)這4件甲產(chǎn)品和4件乙產(chǎn)品中各有大額訂單多少件?
(ⅱ)這4件甲產(chǎn)品和4件乙產(chǎn)品中大額訂單的概率哪個大?
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