Question

已知如圖四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，PG⊥平面ABC，垂足G在AD上，且AG=

1

3

GD，GB⊥GC．GB=GC=2，PG=4，E是BC的中點(diǎn)．
（1）求證：PC⊥BG；
（2）求異面直線GE與PC所成角的余弦值；
（3）若F是PC上一點(diǎn)，且DF⊥GC，求

CF

CP

的值．

Answer 1

分析：（1）由已知PG⊥底面ABCD，可得PG⊥BG，結(jié)合BG⊥CG，可證得BG⊥面PGC，從而有PC⊥BG；
（2）以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，求得

GE

，

PC

的坐標(biāo)，利用向量的夾角公式即可求得異面直線GE與PC所成角的余弦值；
（3）設(shè)CF=λCP，求得點(diǎn)F與點(diǎn)D的坐標(biāo)，從而得到

DF

、

GC

的坐標(biāo)，由DF⊥GC即可求得

CF

CP

的值．

解答：證明：（1）因?yàn)镻G⊥底面ABCD，
所以 PG⊥BG，又BG⊥CG，所以BG⊥面PGC，
所以PC⊥BG．                                    （4分）
（2）建立如圖空間直角坐標(biāo)系，各點(diǎn)坐標(biāo)如圖所示，

GE

=（1，1，0），

PC

=（0，2，-4）
∴|cos＜

GE

，

PC

＞|=|

GE • PC

|  GE  || PC |

|=

10

10

．      （8分）
（3）設(shè)CF=λCP，
則點(diǎn)F（0，2-2λ，4λ），又D（-

3

2

，

3

2

，0），
∴

DF

=（

3

2

，

1

2

-2λ，4λ），

GC

=（0，2，0），
由DF⊥GC得

DF

•

GC

=0，
∴2（

1

2

-2λ）=0．
得λ=

1

4

，
∴

CF

CP

=

1

4

（14分）

點(diǎn)評：本題異面直線及其所成的角，著重考查空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算在空間幾何中的作用，考查分析轉(zhuǎn)化與數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于難題．