Question

對于三次函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），給出定義：設(shè)f′（x）是函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，f″（x）是函數(shù)f′（x）的導(dǎo)數(shù)，f″（x）是函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，此時，稱f″（x）為原函數(shù)f（x）的二階導(dǎo)數(shù)．若二階導(dǎo)數(shù)所對應(yīng)的方程f''（x）=0有實(shí)數(shù)解x₀，則稱點(diǎn)（x₀，f（x₀））為函數(shù)f（x）的“拐點(diǎn)”．某同學(xué)經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”；任何一個三次函數(shù)都有對稱中心，且“拐點(diǎn)”就是對稱中心．
設(shè)三次函數(shù)f（x）=2x³-3x²-24x+12請你根據(jù)上面探究結(jié)果，解答以下問題：
①函數(shù)f（x）=2x³-3x²-24x+12的對稱中心坐標(biāo)為

(

1

2

，-

1

2

)

；
②計(jì)算f(

1

2013

)+f(

2

2013

)+f(

3

2013

)+…+f(

2012

2013

)+f(

2013

2013

)=

-1019

．

Answer 1

分析：①求出所給函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，由二階導(dǎo)數(shù)等于0求出x的值，代入原函數(shù)求出對稱中心；
②利用對稱中心坐標(biāo)得到前2012項(xiàng)的和，在求出f（1）的值，則答案可求．

解答：解：①由f（x）=2x³-3x²-24x+12，得f^′=6x²-6x-24，f^′′（x）=12x-6．
由f^′′（x）=12x-6=0，得x=

1

2

.f(

1

2

)=2×(

1

2

)3-3×(

1

2

)2-24×

1

2

+12=-

1

2

．
所以函數(shù)f（x）=2x³-3x²-24x+12的對稱中心坐標(biāo)為(

1

2

，-

1

2

)．
故答案為(

1

2

，-

1

2

)．
②因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=2x³-3x²-24x+12的對稱中心坐標(biāo)為(

1

2

，-

1

2

)．
所以f(

1

2013

)+f(

2012

2013

)=f(

2

2013

)+f(

2011

2013

)=…=2f(

1

2

)=2×(-

1

2

)=-1．
由f(

2013

2013

)=f(1)=-13．
所以f(

1

2013

)+f(

2

2013

)+f(

3

2013

)+…+f(

2012

2013

)+f(

2013

2013

)=-1006-13=-1019．
故答案為-1019．

點(diǎn)評：本題考查了簡單的演繹推理，是新定義題，解答的關(guān)鍵是利用對稱中心求值，是中檔題．