Question

設(shè)橢圓

x2

2

+

y2

m

=1和雙曲線

y2

3

-x2=1的公共焦點分別為F₁、F₂，P為這兩條曲線的一個交點，則cos∠F₁PF₂的值為（　�。�

• A、

  1

  4

• B、

  1

  3

• C、

  2

  3

• D、-

  1

  3

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：由雙曲線

y2

3

-x2=1得焦點為F₁（0，-2），F(xiàn) 2 （0，2），解得m=6，由橢圓與雙曲線的定義，得|PF₁|+|PF₂|=2

6

，|PF₁|-|PF₂|=±2

3

，由此得到2（|PF₁|²+|PF₂|²）=36，4|PF₁|•|PF₂|=12，再由余弦定理，能求出cos∠F₁PF₂．

解答： 解：由雙曲線

y2

3

-x2=1得焦點為F₁（0，-2），F(xiàn) 2 （0，2），
∴m-2=4，解得m=6，
由橢圓與雙曲線的定義，得：
|PF₁|+|PF₂|=2

6

，|PF₁|-|PF₂|=±2

3

，
兩式分別平方后，相加得 2（|PF₁|²+|PF₂|²）=36，
兩式分別平方后相減，得 4|PF₁|•|PF₂|=12，
因此，由余弦定理，得
cos∠F₁PF₂=（|PF₁|²+|PF₂|²-|F₁F₂|²）÷（2|PF₁|•|PF₂|）
=（18-16）÷6
=

1

3

．
故選：B．

點評：本題考查角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要注意審題，注意橢圓、雙曲線的簡單性質(zhì)的靈活運用，注意余弦定理的合理運用．