Question

（本小題滿分14分）已知函數．

（Ⅰ）當時，求在區(qū)間上的最小值；

（Ⅱ）討論函數的單調性；

（Ⅲ）當時，有恒成立，求的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）當時，在單調遞增；當時，在單調遞增，在上單調遞減；當時，在單調遞減 ．

（Ⅲ）．

【解析】

試題分析: （Ⅰ）當時，，對函數求導數，可知在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增，則；（Ⅱ）對函數求導數得，，要分、和

三種情況討論，易得當時，在單調遞增； 當時，在單調遞增，在上單調遞減； 當時，在單調遞減；

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當時，，由題知，化簡得，解得．

試題解析：（Ⅰ）當時，，

∴；

∵的定義域為，∴由 得，由 得．........2分

∴在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增，

∴． .............4分

（Ⅱ）．

①當，即時，，∴在單調遞減； 5分

②當時，，在單調遞增； 6分

③當時，由得，∴或（舍去）

∴在單調遞增，在上單調遞減； 8分

綜上，當時，在單調遞增；

當時，在單調遞增，在上單調遞減．

當時，在單調遞減； 9分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當時，，

即原不等式等價于， 11分

即，整理得

∴ 13分

又∵，∴的取值范圍為. 14分

考點：①利用導數求最值；②利用導數討論函數的單調性；③利用導數求參數范圍.