Question

19．如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，平面PDC⊥平面ABCD，AC=AD=PD=PC，∠DAC=90°，M在PB上．
（Ⅰ）若點(diǎn)M是PB的中點(diǎn)，求證：PA⊥平面CDM；
（Ⅱ）在線段PB上確定點(diǎn)M的位置，使得二面角D-MC-B的余弦值為-$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取DC的中點(diǎn)O，連結(jié)PO，OA，則PO⊥DC，AO⊥DC，取PA的中點(diǎn)N，連結(jié)ON，MN，推導(dǎo)出四邊形MNOC為平行四邊形，CM⊥PA，由此能證明PA⊥平面CDM．
（Ⅱ）以O(shè)為原點(diǎn)，OA，OC，OP所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出當(dāng)點(diǎn)M是PB的中點(diǎn)時(shí)，二面角D-MC-B的余弦值為-$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

解答 證明：（Ⅰ）取DC的中點(diǎn)O，連結(jié)PO，OA，
則PO⊥DC，AO⊥DC，
又PO∩OA=O，∴PO⊥平面POA，∴CD⊥PA，
取PA的中點(diǎn)N，連結(jié)ON，MN，
由M為PB的中點(diǎn)，得四邊形MNOC為平行四邊形，
∴OM∥ON，
又在△POA中，OP=OA，N為PA中點(diǎn)，則ON⊥PA，∴CM⊥PA，
又CM?平面CDM，CD?平面CDM，CM∩CD=C，
∴PA⊥平面CDM．
解：（Ⅱ）由平面PDC⊥平面ABCD，得PO⊥平面ABCD，
以O(shè)為原點(diǎn)，OA，OC，OP所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)DC=2，則D（0，-1，0），C（0，1，0），B（1，2，0），P（0，0，1），
設(shè)平面MCB的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
$\overrightarrow{CB}$=（1，1，0），$\overrightarrow{CP}$=（0，-1，1），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CB}=x+y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CP}=-y+z=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（-1，1，1），
設(shè)$\overrightarrow{PM}$=$λ\overrightarrow{PB}$，（0＜λ＜1），則M（λ，2λ，1-λ），
$\overrightarrow{DC}$=（0，2，0），$\overrightarrow{CM}$=（λ，2λ-1，1-λ），
設(shè)平面DCM的法向量為$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DC}=2b=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CM}=λa+（2λ-1）b+（1-λ）c=0}\end{array}\right.$，取c=1，得$\overrightarrow{m}$=（$\frac{λ-1}{λ}$，0，1），
∵二面角D-MC-B的余弦值為-$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴|cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{m}$＞|=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{|-\frac{λ-1}{λ}+1|}{\sqrt{3}•\sqrt{（\frac{λ-1}{λ}）^{2}+1}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
解得$λ=\frac{1}{2}$，
∴當(dāng)點(diǎn)M是PB的中點(diǎn)時(shí)，二面角D-MC-B的余弦值為-$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的證明，考查滿足條件的實(shí)數(shù)值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．