【題目】對于給定的正整數(shù)k,若數(shù)列{an}滿足

=2kan對任意正整數(shù)n(n> k) 總成立,則稱數(shù)列{an} 是“P(k)數(shù)列”.

(1)證明:等差數(shù)列{an}是“P(3)數(shù)列”;

若數(shù)列{an}既是“P(2)數(shù)列”,又是“P(3)數(shù)列”,證明:{an}是等差數(shù)列.

【答案】(1)見解析(2)見解析

【解析】試題分析:(1)利用等差數(shù)列性質(zhì)得,即得 ,再根據(jù)定義即可判斷;(2)先根據(jù)定義得 ,再將條件集中消元: , ,即得,最后驗證起始項也滿足即可.

試題解析:證明:(1)因為是等差數(shù)列,設(shè)其公差為,則,

從而,當(dāng)時,

所以,

因此等差數(shù)列是“數(shù)列”.

(2)數(shù)列既是“數(shù)列”,又是“數(shù)列”,因此,

當(dāng)時, ,①

當(dāng)時, .②

由①知, ,③

,④

將③④代入②,得,其中,

所以是等差數(shù)列,設(shè)其公差為.

在①中,取,則,所以,

在①中,取,則,所以,

所以數(shù)列是等差數(shù)列.

點睛:證明為等差數(shù)列的方法:用定義證明: 為常數(shù));用等差中項證明: 通項法: 為關(guān)于的一次函數(shù);④前項和法:

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A.
B.
C.
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A.8
B.4
C.3
D.2

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