Question

2．已知函數(shù)f（x）=2$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{4}$+$\frac{x}{2}$）sin（$\frac{π}{4}$-$\frac{x}{2}$）-sin（π+x），若函數(shù)g（x）的圖象與函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于y軸對稱；
（1）求函數(shù)g（x）的解析式；
（2）若存在x∈[0，$\frac{π}{2}$]，使等式[g（x）]²-g（x）+m=0成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）三角函數(shù)中兩角互余的誘導公式及函數(shù)對稱問題，通過g（x）上的點對稱點在f（x）上，求出g（x）的解析式．
（2）根據(jù)存在x∈[0，$\frac{π}{2}$]，使等式[g（x）]²-g（x）+m=0成立，換元轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求值，從而求實數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（1）由題意得f（x）=$2\sqrt{3}sin（\frac{π}{4}+\frac{x}{2}）cos（\frac{π}{4}+\frac{x}{2}）+sinx$
=$\sqrt{3}sin（\frac{π}{2}+x）+sinx$
=$\sqrt{3}cosx+sinx$
=2$sin（x+\frac{π}{3}）$
因為g（x）的圖象與f（x）的圖象關(guān)于y軸對稱，
設g（x）上任意一點P（x，y）關(guān)于y軸對稱的點P′（-x，y）在y=f（x）的圖象上．
即 g（x）=2sin（-x+$\frac{π}{3}$），故g（x）=-2sin（x-$\frac{π}{3}$）．
（2）∵$x∈[0，\frac{π}{2}]$，∴由（1）得g（x）$∈[-1，\sqrt{3}]$  
  令t=g（x），t$∈[-1，\sqrt{3}]$
則等式[g（x）]²-g（x）+m=0成立等價為m=-t²+t在t$∈[-1，\sqrt{3}]$上成立．
m=-t²+t=-（t-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{4}$，當t=-1時m最小值為-2，當t=$\frac{1}{2}$時m的最大值為$\frac{1}{4}$．
在故m的取值范圍為$[-2，\frac{1}{4}]$．

點評 本題主要考查三角函數(shù)的誘導公式和性質(zhì)，利用換元法將函數(shù)進行化簡是解決本題的關(guān)鍵．