Question

如圖，已知海島A與海岸公路BC的距離為50km，B、C間的距離為100km，從A到C，必須先坐船到BC上某一點(diǎn)D，船速為25km/h，再乘汽車，車速為50km/h．
設(shè)∠BAD=θ．記∠BAD=α（α為確定的銳角，滿足tanα=

1

2

（1）試將由A到C所用時(shí)間t表示為θ的函數(shù)t（θ），并指出函數(shù)的定義域；
（2）問θ為多少時(shí)，使從A到C所用時(shí)間最少？并求出所用的最少時(shí)間．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,解三角形的實(shí)際應(yīng)用

專題：計(jì)算題,應(yīng)用題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）用θ表示出AD與BD，從而可以表示出DC，由路程除以速度得時(shí)間，建立起時(shí)間關(guān)于θ函數(shù)即可；
（2）對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)研究函數(shù)的單調(diào)性，借助三角函數(shù)的性質(zhì)可得出當(dāng)當(dāng)θ=

π

6

時(shí)，用時(shí)最少，代入函數(shù)關(guān)系式求出最值即可．

解答： 解：（1）AD=

50

cosθ

，所以A到D所用時(shí)間t₁=

2

cosθ

，BD=50tanθ=

50sinθ

cosθ

，
∴DC=100-BD=100-50tanθ=100-

50sinθ

cosθ

，
所以D到C所用時(shí)間t₂=2-

sinθ

cosθ

，
所以t（θ）=t₁+t₂=2+

2-sinθ

cosθ

，定義域?yàn)閇0，α]，α∈[0，

π

2

）．                   
（2）t′（θ）=

-cos2θ+sinθ(2-sinθ)

cos2θ

=

2sinθ-1

cos2θ

令t'（θ）＞0，則sinθ＞

1

2

，即有

π

6

＜θ＜

π

2

，
由于∠BAD=α，則

π

6

＜θ＜α，t（θ）單調(diào)增；     
令t'（θ）＜0，則sinθ＜

1

2

，即有0＜θ＜

π

6

，t（θ）單調(diào)減；
因此，θ=

π

6

，t（θ）取到最小值2+

3

．                               
答：當(dāng)θ=

π

6

時(shí)，由A到C的時(shí)間t最少，最少時(shí)間為2+

3

小時(shí)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查在實(shí)際問題中建立三角函數(shù)模型，應(yīng)用三角函數(shù)模型求解用時(shí)最少的問題，求解本題的關(guān)鍵是對(duì)問題進(jìn)行細(xì)致分析得出符合條件的函數(shù)模型，本題在求最值時(shí)用到了導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是一個(gè)非常方便的工具，遇到判斷函數(shù)的單調(diào)性的問題時(shí)不妨優(yōu)先考慮一下用導(dǎo)數(shù)．本題符號(hào)較多，運(yùn)算較繁，極易出錯(cuò)，做題時(shí)要認(rèn)真嚴(yán)謹(jǐn)．