分析 求解7cos2α-sinαcosα-1=0可得tanα的值,展開二倍角余弦后化弦為切可得cos2α;再由同角三角函數(shù)的基本關系式求得sin2α,然后展開兩角和的正弦得sin({2α+\frac{π}{4}})的值.
解答 解:由7cos2α-sinαcosα-1=0,得6cos2α-sinαcosα-sin2α=0,
∵α∈(\frac{π}{4},\frac{π}{2}),∴cosα≠0,則
∴tan2α+tanα-6=0,
解得:tanα=2或tanα=-3(舍).
∴cos2α=co{s}^{2}α-si{n}^{2}α=\frac{co{s}^{2}α-si{n}^{2}α}{co{s}^{2}α+si{n}^{2}α}=\frac{1-ta{n}^{2}α}{1+ta{n}^{2}α}=\frac{1-4}{1+4}=-\frac{3}{5}.
sin2α=tan2α•cos2α=\frac{2tanα}{1-ta{n}^{2}α}•cos2α=\frac{4}{5}.
∴sin({2α+\frac{π}{4}})=sin2α•cos\frac{π}{4}+cos2α•sin\frac{π}{4}=\frac{4}{5}×\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{3}{5}×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{10}.
點評 本題考查三角函數(shù)的化簡求值,考查同角三角函數(shù)基本關系式的應用及兩角和的正弦,是基礎題.
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A. | a≥0 | B. | a≤0 | C. | a>0 | D. | a<0 |
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A. | \frac{3}{4}π | B. | \frac{5}{4}π | C. | \frac{π}{4} | D. | \frac{π}{4}或\frac{3π}{4} |
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A. | b>\frac{1}{3} | B. | b>-9 | C. | b<1 | D. | b≤\frac{1}{3} |
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