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7.已知7cos2α-sinαcosα-1=0,α∈(\frac{π}{4}\frac{π}{2}),求cos2α和sin({2α+\frac{π}{4}})的值.

分析 求解7cos2α-sinαcosα-1=0可得tanα的值,展開二倍角余弦后化弦為切可得cos2α;再由同角三角函數(shù)的基本關系式求得sin2α,然后展開兩角和的正弦得sin({2α+\frac{π}{4}})的值.

解答 解:由7cos2α-sinαcosα-1=0,得6cos2α-sinαcosα-sin2α=0,
∵α∈(\frac{π}{4},\frac{π}{2}),∴cosα≠0,則
∴tan2α+tanα-6=0,
解得:tanα=2或tanα=-3(舍).
∴cos2α=co{s}^{2}α-si{n}^{2}α=\frac{co{s}^{2}α-si{n}^{2}α}{co{s}^{2}α+si{n}^{2}α}=\frac{1-ta{n}^{2}α}{1+ta{n}^{2}α}=\frac{1-4}{1+4}=-\frac{3}{5}
sin2α=tan2α•cos2α=\frac{2tanα}{1-ta{n}^{2}α}•cos2α=\frac{4}{5}
sin({2α+\frac{π}{4}})=sin2α•cos\frac{π}{4}+cos2α•sin\frac{π}{4}=\frac{4}{5}×\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{3}{5}×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{10}

點評 本題考查三角函數(shù)的化簡求值,考查同角三角函數(shù)基本關系式的應用及兩角和的正弦,是基礎題.

練習冊系列答案
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17.函數(shù)f(x)=\frac{1}{3}x3-ax在R上是增函數(shù),則實數(shù)a的取值范圍是(  )
A.a≥0B.a≤0C.a>0D.a<0

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18.設α,β為銳角,且sin α=\frac{\sqrt{5}}{5},cos β=\frac{{3\sqrt{10}}}{10},則α+β的值為(  )
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15.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,點(n,\frac{{S}_{n}}{n})在直線y=\frac{1}{2}x+\frac{11}{2}上,數(shù)列{bn}為等差數(shù)列,且b3=11,前9項和為153.
(1)求數(shù)列{an}、{bn}的通項公式;
(2)設cn=\frac{3}{(2{a}_{n}-11)(2_{n}-1)},數(shù)列{cn}的前n項和為Tn,求使不等式Tn\frac{k}{57}對一切的n∈N*都成立的最大整數(shù)k.

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2.已知雙曲線\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1(a>0,b>0)上存在點P,滿足P到y(tǒng)軸和到x軸的距離比為\sqrt{3},則雙曲線離心率的取值范圍是(\frac{2\sqrt{3}}{3},+∞).

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4.已知向量\overrightarrow{a}=(1+coswx,1),\overrightarrow=(1,a+\sqrt{3}sinwx) (w為常數(shù)且w>0),函數(shù)f(x)=\overrightarrow{a}\overrightarrow在R上的最大值為3,且函數(shù)y=f(x)的任意兩相鄰的對稱軸間的距離為\frac{π}{2}
(1)求函數(shù)y=f(x)的解析式;
(2)在給定的坐標系中畫出函數(shù)y=f(x)在[0,π]上的圖象.

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11.從5名男生和3名女生中選5人擔任5門不同學科的課代表,分別求符合下列條件的方法數(shù):
(1)女生甲擔任語文課代表;
(2)男生乙必須是課代表,但不擔任數(shù)學課代表.

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8.已知函數(shù)f(x)=|x-1|-|2x-3|.
(1)已知f(x)≥m對0≤x≤3恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;
(2)已知f(x)的最大值為M,a,b∈R+,a+2b=Mab,求a+2b的最小值.

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9.點M(-2,b)在不等式2x-3y+5<0表示的平面區(qū)域內,則b的取值范圍是( �。�
A.b>\frac{1}{3}B.b>-9C.b<1D.b≤\frac{1}{3}

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