Question

已知，g（x）=e^x-x²+2ax-1，（x∈R，a為實數(shù)），y=f（x）的圖象與y軸交于點，且在該點處切線的斜率為-2．
（I）若點，點P是函數(shù)y=f（x）圖象上一點，Q（x，y）是PA的中點，當，時，求x的值；
（II）當a＞1+ln2時，試問：是否存在曲線y=f（x）與y=g（x）的公切線？并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據(jù)在該點處切線的斜率為-2建立等式關(guān)系可求出ω、θ從而求出f（x），利用中點坐標公式建立等式關(guān)系，即可求出x的值；
（II）先求出曲線f（x）的切線斜率的取值范圍，然后求出曲線y=g（x）的切線斜率的取值范圍，看其是否有交集，從而判定是否存在曲線y=f（x）與y=g（x）的公切線．
解答：解：（I）由題意可知可得：
即
設(shè)P點坐標為，已知
所以Q（x，y）滿足又由得到t=π或
所以或
（II）因為所以曲線f（x）的切線斜率k₁∈[-4，4]
又g′（x）=e^x-2x+2a
∴g″（x）=e^x-2
∴令g″（x）=0可得x=ln2處g′（x）取到最小值g′（ln2）=e^ln2-2ln2+2a＞2-2ln2+2+2ln2=4
所以曲線y=g（x）的切線斜率k₂＞4，故不存在兩曲線的共切線．
點評：本題主要考查了利用導數(shù)研究在某點處的切線，以及導數(shù)的幾何意義和公切線問題，屬于中檔題．