Question

12．若函數(shù)f（x）=x²+ln（x+a）（a＞0）與g（x）=x²+e^x-$\frac{1}{2}$（x＜0）的圖象上存在關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)，則關(guān)于x的方程x²+2alnx-2ax=0解的個(gè)數(shù)是1．

Answer 1

分析 由題意可得，存在x＜0使f（-x）-g（x）=0，即e^x-$\frac{1}{2}$-ln（-x+a）=0在（-∞，0）上有解，從而化為函數(shù)m（x）=e^x-$\frac{1}{2}$-ln（-x+a）在（-∞，0）上有零點(diǎn)，從而求解．

解答 解：若函數(shù)f（x）=x²+ln（x+a）（a＞0）與g（x）=x²+e^x-$\frac{1}{2}$（x＜0）圖象上存在關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)，
則等價(jià)為g（x）=f（-x），在x＜0時(shí)，方程有解，
即x²+e^x-$\frac{1}{2}$=x²+ln（-x+a），即e^x-$\frac{1}{2}$-ln（-x+a）=0在（-∞，0）上有解，
令m（x）=e^x-$\frac{1}{2}$-ln（-x+a），
則m（x）=e^x-$\frac{1}{2}$-ln（-x+a）在其定義域上是增函數(shù)，且x→-∞時(shí)，m（x）＜0，
∵a＞0∴e^x-$\frac{1}{2}$-ln（-x+a）=0在（-∞，0）上有解可化為：e⁰-$\frac{1}{2}$-lna＞0，
即lna＜$\frac{1}{2}$，故0＜a＜$\sqrt{e}$．
令h（x）=x²+2alnx-2ax，
${h^'}（x）=2x+\frac{2a}{x}-2a=\frac{2}{x}（{x^2}-ax+a）$，
∵a²-4a＜0，∴h′（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增，
x→0時(shí)，h（x）→-∞，x→+∞時(shí)，h（x）→+∞，
∴h（x）=0有一個(gè)解，
故答案為：1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)的圖象與方程的根及函數(shù)的零點(diǎn)之間的關(guān)系，進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)，難度較大．