(1)函數(shù)y=
2
3
sin(
1
2
x-
π
4
)的振幅、周期和頻率各是多少?它的圖象與正弦曲線有什么關系?
(2)求函數(shù)y=tan(
π
2
x+
π
3
)的定義域、周期與單調遞增區(qū)間.
考點:y=Asin(ωx+φ)中參數(shù)的物理意義,正切函數(shù)的圖象
專題:綜合題,三角函數(shù)的圖像與性質
分析:(1)利用y=Asin(ωx+φ)中參數(shù)的物理意義可知函數(shù)y=
2
3
sin(
1
2
x-
π
4
)的振幅、周期和頻率,利用y=Asin(ωx+φ)的圖象變換可知它的圖象與正弦曲線的關系;
(2)利用正切函數(shù)的性質即可求得函數(shù)y=tan(
π
2
x+
π
3
)的定義域、周期與單調遞增區(qū)間.
解答: 解:(1)函數(shù)y=
2
3
sin(
1
2
x-
π
4
)的振幅為
2
3
,周期T=
1
2
=4π,頻率f=
1
T
=
1
;
其圖象是由y=sinx的圖象分三步變換而來,
第一步,將y=sinx的圖象向右平移
π
4
個單位,得到y(tǒng)=sin(x-
π
4
)的圖象;
第二步,再將得到的函數(shù)圖象上的各點的橫坐標伸長到原來的兩倍(縱坐標不變),得到y(tǒng)=sin(
1
2
x-
π
4
)的圖象;
第三步,再將y=sin(
1
2
x-
π
4
)的圖象上各點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼?span id="xjvhtft" class="MathJye">
2
3
倍(橫坐標不變),即可得到函數(shù)y=
2
3
sin(
1
2
x-
π
4
)的圖象;
(2)由
π
2
x+
π
3
≠kπ+
π
2
(k∈Z)得:x≠2k+
1
3
(k∈Z),
∴函數(shù)y=tan(
π
2
x+
π
3
)的定義域為{x|x≠2k+
1
3
(k∈Z)};
其周期T=
π
π
2
=2;
由kπ-
π
2
π
2
x+
π
3
<kπ+
π
2
(k∈Z)得:2k-
5
3
<x<2k+
1
3
(k∈Z),
∴函數(shù)y=tan(
π
2
x+
π
3
)的單調遞增區(qū)間為(2k-
5
3
,2k+
1
3
)(k∈Z).
點評:本題考查y=Asin(ωx+φ)中參數(shù)的物理意義,考查y=Asin(ωx+φ)的圖象變換,考查正切函數(shù)的圖象與性質,屬于中檔題.
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4
3
;
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