Question

15．已知某牌子汽車生產(chǎn)成本C（萬元）與月產(chǎn)量x（臺）的函數(shù)關(guān)系式為C=100+4x，單價p與產(chǎn)量x的函數(shù)關(guān)系式為p=25-$\frac{1}{8}x$，假設(shè)產(chǎn)品能全部售出．
（1）求利潤函數(shù)f（x）的解析式，并寫出定義域；
（2）當(dāng)月產(chǎn)量x為何值時，利潤最大，并求出最大利潤．

Answer 1

分析 （1）利潤f（x）等于收入R減去成本C，收入R等于產(chǎn)量×價格，求出函數(shù)的解析式即可；
（2）根據(jù)函數(shù)的解析式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的最值即可．

解答 解：（1）因為利潤f（x）等于收入R減去成本C，收入R等于產(chǎn)量乘價格．
所以，收入R=px=（25-$\frac{1}{8}x$）x=25x-$\frac{1}{8}{x^2}$，
∴f（x）=R-C=（25x-$\frac{1}{8}{x^2}$）-（100+4x）=$-\frac{1}{8}{x^2}$+21x-100．
由$\left\{\begin{array}{l}x≥0\\ 25-\frac{1}{8}x＞0\end{array}\right.$得  0≤x＜200…（4分）
因此，利潤函數(shù)f（x）=$-\frac{1}{8}{x^2}$+21x-100，定義域為[0，200）…（6分）
（2）由（1）得：利潤f（x）=$-\frac{1}{8}{x^2}$+21x-100=$-\frac{1}{8}{（x-84）^2}+782$
∴當(dāng)x=84時，f（x）取得最大值f（84）=782．
答：當(dāng)月產(chǎn)量x為84臺時，利潤最大，最大的利潤782萬元…（12分）

點評 本題考查了求函數(shù)的解析式問題，考查二次函數(shù)的性質(zhì)，是一道中檔題．