Question

10．平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C：（x-1）²+y²=1．直線l經(jīng)過點P（m，0），且傾斜角為$\frac{π}{6}$．以O(shè)為極點，以x軸正半軸為極軸，建立坐標(biāo)系．
（Ⅰ）寫出曲線C的極坐標(biāo)方程與直線l的參數(shù)方程；
（Ⅱ）若直線l與曲線C相交于A，B兩點，且|PA|•|PB|=1，求實數(shù)m的值．

Answer 1

分析 （1）曲線C：（x-1）²+y²=1．展開為：x²+y²=2x，把$\left\{\begin{array}{l}{{ρ}^{2}={x}^{2}+{y}^{2}}\\{x=ρcosθ}\end{array}\right.$代入可得曲線C的極坐標(biāo)方程．直線l的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=m+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$，（t為參數(shù)）．
（2）設(shè)A，B兩點對應(yīng)的參數(shù)分別為t₁，t₂．把直線l的參數(shù)方程圓的方程可得：t²+（$\sqrt{3}m-\sqrt{3}$）t+m²-2m=0，利用|PA|•|PB|=1，可得|m²-2m|=1，解得m即可得出．

解答 解：（1）曲線C：（x-1）²+y²=1．展開為：x²+y²=2x，可得ρ²=2ρcosθ，即曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ．
直線l的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=m+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$，（t為參數(shù)）．
（2）設(shè)A，B兩點對應(yīng)的參數(shù)分別為t₁，t₂．把直線l的參數(shù)方程代入x²+y²=2x，可得：t²+（$\sqrt{3}m-\sqrt{3}$）t+m²-2m=0，∴t₁t₂=m²-2m．
∵|PA|•|PB|=1，∴|m²-2m|=1，解得m=1或1±$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)方程的方法、直線與圓的相交弦長問題、直線參數(shù)方程的應(yīng)用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．