Question

16．如圖，AB是圓O的直徑，PB是圓O的切線，過A點(diǎn)作AE∥OP交圓O于E點(diǎn)，PA交圓O于點(diǎn)F，連接PE．
（Ⅰ）求證：PE是圓O的切線；
（Ⅱ）設(shè)AO=3，PB=4，求PF的長．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接OE，證明△BOP≌△EOP，可得∠OEP=∠OBP，根據(jù)PB是圓O的切線，證明PE是圓O的切線；
（Ⅱ）利用切割線定理求PF的長．

解答 解：（Ⅰ）連接OE，∵OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA，
∵AE∥OP，
∴∠OAE=∠BOP，∠OEA=∠EOP，
∴∠BOP=∠EOP，又OB=OE，OP=OP，
∴△BOP≌△EOP，
∴∠OEP=∠OBP，
∵PB是圓O的切線，∴∠OBP=90°，
∴∠OEP=90°，
∴PE是圓O的切線．…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知△ABP 是直角三角形，
∵AB=2AO=6，PB=4，
∴PA=$\sqrt{A{B}^{2}+P{B}^{2}}$=2$\sqrt{13}$，
∵PB是圓O的切線，
∴PB²=PF•PA，
∴PF=$\frac{P{B}^{2}}{PA}$=$\frac{8\sqrt{13}}{13}$．…10分

點(diǎn)評 本題考查圓的切線的證明，考查切割線定理，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．