Question

在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且1+cos2A-cos2B-cos2C=2sinBsinC．
（Ⅰ） 求角A
（Ⅱ） 設(shè)f（B）=sin²B+sin²C，求f（B）的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)已知得等式，再利用正弦定理得到關(guān)于a，b和c的關(guān)系式，利用余弦定理表示出cosA，把得出的關(guān)系式代入即可求出cosA的值，由A的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出A的度數(shù)；
（Ⅱ）把f（B）利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，由（Ⅰ）中求出的A的度數(shù)，得到B和C的關(guān)系，表示出C，代入化簡(jiǎn)后的式子中，合并后利用兩角差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，由B的范圍求出這個(gè)角的范圍，令這個(gè)角等于

π

2

，即可求出此時(shí)B的度數(shù)和f（B）的最大值．

解答：解：（Ⅰ）由1+cos2A-cos2B-cos2C=2sinB•sinC得：
sin²B+sin²C-sin²A=sinBsinC，（2分）
由正弦定理得：b²+c²-a²=bc，（4分）
由余弦定理得：cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

1

2

，
∵0＜A＜π，∴A=

π

3

；（6分）
（Ⅱ）f（B）=

1-cos2B

2

+

1-cos2C

2

=1-

1

2

（cos2B+cos2C），（8分）
由（Ⅰ）得B+C=π-A=

2π

3

，∴C=

2π

3

-B，
∴f（B）=1-

1

2

[cos2B+cos（

4π

3

-2B）]=1-

1

2

[cos2B-cos（

π

3

-2B）]
=1-

1

2

（cos2B-

1

2

cos2B-

3

2

sin2B）=1+

1

2

sin（2B-

π

6

），（10分）
∵0＜B＜

2π

3

，∴-

π

6

＜2B-

π

6

＜

7π

6

，
令2B-

π

6

=

π

2

，即B=

π

3

時(shí)，f（B）取得最大值

3

2

．（12分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用正弦、余弦定理化簡(jiǎn)求值，靈活運(yùn)用二倍角的余弦函數(shù)公式及兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)求值，是一道中檔題．